Файл: Экзаменационные вопросы по математическому анализу 1 семестр 20212022 у г.pdf

Экзаменационные вопросы по математическому анализу 1 семестр 2021-2022 у. г.
Лектор Морозова А.В.
1. Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности, сходящиеся и расходящиеся последовательности, примеры.
2. Теорема о единственности предела последовательности.
3. Ограниченная последовательность. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. (б. д.) Пример.
4. Арифметические действия над сходящимися последовательностями.
5. Определение предела функции «на языке последовательностей» (предел по Гейне).
Теорема о единственности предела.
6. Ограниченная функция (ограниченная сверху, снизу), теорема об ограниченности функции, имеющей предел (конечный).
7. Арифметические действия с пределами функции. Предел суперпозиции.
8. Теоремы о пределах функции: о предельном переходе в неравенство, о сжатой функции. Первый замечательный предел.
9. Предел функции на бесконечности.
10. Бесконечно большие функции.
11.Теорема о пределе монотонной и ограниченной функции. Второй замечательный предел.
12. Бесконечно малые функции. Теорема о сумме бесконечно малых функций.
13. Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную, следствия.
14. Теорема об отношении б.м.ф. и функции, имеющей предел. Связь функции имеющей предел с её пределом и б. м. ф.
15. Бесконечно большие функции. Теоремы о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций. Пример.
16. Сравнение б. м. ф. Символы о и O.
17. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства. Теорема о замене на эквивалентные при вычислении предела, следствие. Таблица эквивалентных бесконечно малых, главная степенная часть функции.
18. Односторонние пределы. Теорема о связи между односторонними пределами и пределом функции.
19. Понятие функции, непрерывной в точке. Непрерывность функции в точке справа, слева. Примеры. Теорема о необходимом и достаточном условии непрерывности функции в точке.
20. Устойчивость знака непрерывной функции.
21.
Основные элементарные функции, их классификация, непрерывность элементарных функций.
22. Операции над непрерывными функциями. Переход к пределу под знаком непрерывной функции.
23. Теорема о непрерывности сложной функции.
24. Замечательные пределы ( и
(
)
) и следствия из них.
25. Точки разрыва функции и их классификация (точка разрыва первого рода, скачок функции, точка устранимого разрыва, точка разрыва второго рода), примеры.

26. Понятие непрерывности функции на интервале и на отрезке, функции кусочно- непрерывные на отрезке.
27. Первая теорема Больцано — Коши (о существовании корня). Вторая теорема
Больцано — Коши (о промежуточном значении непрерывной функции).
28. Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции). Вторая теорема Вейерштрасса (о наибольшем и наименьшем значении функции на отрезке).
29. Понятия монотонной и строго монотонной функции. Теорема о непрерывности обратной функции (формулировка).
30. Определение производной функции в точке, примеры. Односторонние производные, пример.
31. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции в точке.
32. Теорема о связи дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в этой точке.
33. Понятие дифференциала функции.
34. Геометрический смысл производной и дифференциала, секущая и касательная к графику функции в данной точке, уравнение касательной и нормали.
35. Теорема об арифметических действиях с дифференцируемыми функциями, следствия из неё (линейность операции дифференцирования).
36.
Теорема о производной сложной функции (формулировка), свойство инвариантности формы первого дифференциала.
37. Теорема о производной обратной функции, примеры.
38. Таблица производных основных элементарных функций, логарифмическая производная.
39. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций.
40. Параметрический способ задания функции, вычисление производных от таких функций.
41. Теорема Ролля (теорема о нуле производной).
42. Теорема о среднем Лагранжа, формула Лагранжа (формула конечных приращений), её геометрическая интерпретация.
43. Теорема о среднем Коши, формула Коши (обобщённая формула конечных приращений).
44. Правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей типа и
, примеры.
45. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (теорема о представлении функции формулой Тейлора), многочлен Тейлора, остаточный член в форме Лагранжа.
Формула Маклорена, разложение некоторых элементарных функций по формуле
Маклорена.
46. Теорема о невозрастающей и неубывающей функции на отрезке. Теорема о достаточном условии возрастания или убывания функции в точке.
47. Понятие локального экстремума функции, минимум и максимум (строгий минимум и строгий максимум).
48. Теорема о необходимом условии экстремума функции, дифференцируемой в данной точке.

49. Теорема 1 о достаточном условии максимума и минимума. Теорема 2 о достаточном условии максимума и минимума. Правила 1,2 отыскания экстремумов функции.
50. Понятие о направлении выпуклости графика функции. Теорема о направлении выпуклости графика функции, следствие из неё. Примеры. Определение точки перегиба графика функции. Теорема о необходимом условии перегиба графика функции в точке. Теорема о достаточных условиях перегиба графика функции в точке.
Примеры.
51. Определение вертикальной асимптоты графика функции, примеры. Наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции, примеры.
52. Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных для данной функции, следствие из неё.
53. Основные свойства неопределённого интеграла, в том числе свойство линейности.
54. Таблица основных неопределённых интегралов, непосредственное интегрирование, примеры. Понятие об интегралах от элементарных функций, не выражающихся через элементарные функции (неберущиеся интегралы).
55. Техника интегрирования: метод интегрирования подстановкой (заменой переменной), метод интегрирования по частям, примеры.
56. Понятие многочлена (полинома) от одного переменного. Сумма и произведение многочленов. Деление многочленов с остатком и нацело, делитель многочлена. Корень многочлена, кратность корней. Теорема Безу и следствия из неё.
57. Основная теорема высшей алгебры, следствие теоремы. Свойства корней многочленов с вещественными коэффициентами и их разложение на неприводимые множители.
58. Понятие рациональной дроби (рациональной функции), правильная и неправильная рациональные дроби. Теорема о разложении правильной рациональной дроби (с вещественными коэффициентами) в сумму простейших (элементарных) дробей, примеры.
59. Определённый интеграл. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.
60. Свойства определённого интеграла.
61.Теорема о среднем. Геометрический смысл. Связь интегрируемости и непрерывности.
62. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
63. Формула Ньютона-Лейбница.
64. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле.
Примеры.
65. Площадь криволинейной фигуры и длина участка кривой. Дифференциал длины дуги кривой.