Файл: .docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.01.2024

Просмотров: 54

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

№3.
????̇(????) = −????(????) + ????(????),

????(0) = -9,5






Здесь

x (x1, x2 )TR2 ,

t [0; 2], на управление наложено ограничение

| u|  1 , т.е.

uU

 [1; 1] ,

f0 (t, x, u)  0 ,

F(t1, x)  x2 ,

f1(t, x, u)  x2 ,

f2 (t, x, u)  x1 u, 1(t1, x(t1 ))  t1  2  0 . Решается задача Майера.

  1. Составляем гамильтониан H(t, , x, u)  1 x2   2  [  x1 u].

  2. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как имеются ограничения на управление, требуется найти условный максимум гамильтониана по управлению. В данной задаче гамильтониан линеен по uна заданном отрезке изменения управления [-1; 1], поэтому оптимальное управление имеет вид




u(t)  arg max H(t, (t), x(t), u) = 1  sign 

(t) 

1, 2(t)  0 ,


|u|  1

2  1,

2(t)  0 .




т.е. является релейным. Величина управления определяется знаком функции 2(t) .

  1. Выписываем канонические уравнения (6) принципа максимума:


x1(t)  x2 (t) , x1(0)  0 ,

x2 (t)   x1(t)  u(t)   x1(t)  sign  2(t),

x2(0)  0 ,

1
(t)  



 x1

H(t, (t), x(t), u(t))  2
(t) ,

2
(t)  



x2

H(t, (t), x(t), u(t))   1
(t) .

  1. Проверяем условия трансверсальности (5):

2

F H(t1 ) t1 j(t1 ) xj

 0 ,

j1

t1 2

где 

F(t1, x)



2 F(t1, x)



  . Группируя члены, получаем

F

t1

t1 

j1

xj

xj x2

H(2) t1  1 (2) x1  [1  2 (2)] x2

 0 .

Момент окончания t1

задан, поэтому

t1  0 . Так как правый конец свободен, то

вариации

x1 ,

x2

считаются произвольными. Чтобы равенство выполнялось для

любых вариаций, необходимо, чтобы

1(2)  0 ,  2(2)  1 .

  1. Решаем двухточечную краевую задачу с учетом пп. 2 и 4:




x1(t)  x2 (t) ,

x1(0)  0 ;

x2 (t)   x1(t)  sign  2 (t),

x2 (0)  0 ;

1(t)  2 (t) ,

1(2)  0 ;

2 (t)   1(t),

2(2)  1 .

Имеем:

1(t)   sin t,

2(t)   cos t,

u(t)  sign ( cos t)   sign (cos t) . Найденное

оптимальное управление

u(t)

на отрезке

[0, 2]

имеет две точки переключения и,


1

2
следовательно, три промежутка знакопостоянства:

  1. при 0  t

2

, u(t)  1 ,

x(t)  cos t 1 ,

x (t)   sin t;

  1. при

2

t3

2

, u(t)  1 ,

x(t)  cos t 2 sin t 1 ,

x (t)   sin t 2 cos t;

  1. при 3

2

t 2,

u(t)  1 ,

x(t)  cos t 4 sin t 1 ,


1

2
x(t)   sin t 4 cos t.
Минимальноезначениефункционаларавно x(2)4.

Смотрите также файлы