Файл: Egmond aan Zee Netherlands 2020European Girls Mathematical Olympiad.pdf

EGMO
nd aan Zee
Netherlands 2020
European Girls’ Mathematical Olympiad
17 апреля 2020
Задача 4.
Перестановку целых чисел 1, 2, . . . , m будем называть свежей, если не существует положительного целого k < m такого, что первые k чисел в этой перестановке — это 1, 2, . . . , k в некотором порядке. Пусть f m
— количество всех свежих перестановок чисел 1, 2, . . . , m.
Докажите, что f n
> n · f n
−1
для всех n
> 3.
Например, если m = 4, то перестановка (3, 1, 4, 2) является свежей, а перестановка (2, 3, 1, 4)
не является.
Задача 5.
Рассмотрим треугольник ABC, у которого
∠BCA > 90
◦
. Радиус окружности Γ,
описанной около треугольника ABC, равен R. На отрезке AB нашлась точка P такая, что P B =
P C
, а длина P A равна R. Серединный перпендикуляр к P B пересекает Γ в точках D и E.
Докажите, что P является центром вписанной окружности треугольника CDE.
Задача 6.
Пусть m > 1 — целое число. Последовательность a
1
, a
2
, a
3
, . . .
задана равенствами a
1
= a
2
= 1
, a
3
= 4
, а для всех n
> 4:
a n
= m(a n
−1
+ a n
−2
)
− a n
−3
Найдите все целые m такие, что каждый член последовательности является точным квадратом.
Language: Русский
Время работы: 4 часа 30 минут
Каждая задача оценивается из 7 баллов
Чтобы олимпиада была честной и доставила всем удовольствие, пожалуйста, не упоминайте и не пишите ничего про задачи в интернете и любых социальных сетях до 01:00 ночи 19 апреля по московскому времени.
Language: Russian
Day: 2