Файл: Учебное пособие для студентов направления "Информатика и вычислительная техника".pdf

номера. Внутри окружения источники перечисляются при помощи команды
\bibitem[lab]{key}
. После этого следует непосредственно текст библиогра- фического источника. Соответствующая запись будет помечена символами lab, а ссылаться на источник можно будет по метке key. При отсутствии мет- ки lab вместо нее будет печататься порядковый номер источника, который хранится в счетчике enumiv.
Для ссылок на источники в тексте документа применяется следующая команда: \cite[text]{key}. Результатом этой команды будет печать сим- волов lab или номера источника с меткой key, заключенных в квадратные скобки. Если одной командой нужно сослаться на разные источники, то со- ответствующие метки перечисляются через запятую. Необязательный пара- метр text служит для уточнения ссылки текстовым комментарием. Приведем пример документа, содержащего список литературы:
\documentclass[12pt,russian]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\textwidth=12cm
\begin{document}
Первой книгой по {\TeX’у} была книга \cite{Knut}, а по {\LaTeX’у} - книга
\cite{Lamport}
. Сейчас существует много литературы как о {\TeX’е}, так и о {\LaTeX’е} (см. \cite{Knut,Lamport}).
\begin{thebibliography}{99999}
\bibitem{Knut}
D. E. Knuth. The TeX book Volume A of Computers and
Typesetting. Addison-Wesley Publishing Company. 1964.
\bibitem[\LaTeX]{Lamport}
L. Lamport. LaTeX: A Document Preparation
System. Addison-Wesley. Reading. Massachusetts, second edition. 1994.
\end{thebibliography}
\end{document}
Результат:
Первой книгой по TEX’у была книга [1], а по L
A
TEX’у – книга [L
A
TEX]. Сейчас существует много литературы как о TEX’е, так и о L
A
TEX’е (см. [1, L
A
TEX]).
Список литературы
1. D. E. Knuth. The TeX book Volume A of Computers and Typesetting.
Addison-Wesley Publishing Company. 1964.
L
A
TEX. L. Lamport. LaTeX: A Document Preparation System. Addison-Wesley.
Reading. Massachusetts, second edition. 1994.
29

5
Набор математических выражений в L
A
TEX’е
В этом разделе рассмотрим одно из главных назначений системы TEX –
набор формул. Далее большее внимание будет уделено возможностях базо- вого комплекта пакета L
A
TEX 2ε, также будет затронут пакет AMS, который был создан под эгидой Американского математического общества. Для набо- ра математических выражений пакет имеет специальные режимы, которые реализованы в виде окружений и команд.
5.1
Оформление формул
Различают математические формулы внутри текста и так называемые
«выключные», то есть выделенные в отдельную строку. Формулы внутри текста задаются окружением math или, что приводит к тем же результатам,
обособляются с обеих сторон знаком доллара $.
Выключную формулу можно оформить как окружение displaymath или обособить с обеих сторон парами знаков доллара $$, как предусмотрено стан- дартом TEX’а. Кроме того, выключную формулу можно задать L
A
TEX’овскими знаками, введенными Лесли Лэмпортом: \[ (в начале) и \] (в конце). Эти аль- тернативные обозначения полностью эквивалентны стандартным (со знаками доллара), за одним важным исключением: если выключные формулы обозна- чаются L
A
TEX’овскими, а не TEX’овскими обозначениями, то можно сделать так, что выключные формулы будут не центрированы, а прижаты влево.
Пример формулы внутри текста и выключной формулы.
Формула b
R
a f (x) dx находится внутри текста, а следующая формула является выключной:
a + b x
− y
= g(x).
Проставить нумерацию формул можно вручную с помощью команды
\eqno (номер_формулы)
. Пример:x^2=y \eqno (3.2). Результат:
x
2
= y.
(3.2)
Для автоматической нумерации выключных формул следует использо- вать окружение equation.
5.2
Таблицы спецзнаков в формулах
В этом разделе мы перечислим математические знаки, используемые
L
A
TEX’ом в формулах. Знаков этих очень много, поэтому разобьем их на несколько групп.
30

5.2.1 Операции, отношения и просто значки
Начнем с греческих букв. Имя команды, задающей строчную греческую букву, совпадает с английским названием этой буквы (например, буква α за- дается командой \alpha). Исключение составляет буква о (она называется
«омикрон»): по начертанию она совпадает с курсивной латинской о, так что специальной команды для нее не предусмотрено, и для ее набора достаточ- но просто написать о в формуле. Некоторые греческие буквы имеют по два варианта начертаний, например π (\pi) и ̟ (\varpi), ρ (\rho) и ̺ (\varrho).
Имя команды, задающей прописную греческую букву, пишется с пропис- ной буквы (например, буква Ψ задается командой \Psi). Некоторые пропис- ные греческие буквы (альфа, например) совпадают по начертанию с латин- сими, и для них специальных команд нет.
Следующая серия символов – символы, рассматриваемые TEX’ом как символы бинарных операций (на подобие знаков сложения, умножения и т.п.).
TEX оставляет в формуле большие пробелы по обе стороны этих знаков, кро- ме случаев, когда есть основания считать, что эти знаки используются не для обозначения операций, а для других целей.
+ +
− -
∗
*
± \pm
∓ \mp
× \times
÷ \div
\
\setminus
·
\cdot
◦
\circ
•
\bullet
∩ \cap
∪ \cup
⊎ \uplus
⊓ \sqcap
⊔ \sqcup
∨ \vee
∧ \wedge
⊕ \oplus
⊖ \ominus
⊗ \otimes
⊙ \odot
⊘ \oslash
⊳
\triangleleft
⊲
\triangleright
∐ \amalg
⋄
\diamond
≀
\wr
⋆
\star
†
\dagger
‡
\ddagger
△ \bigtriangleup \bigcirc
▽ \bigtriangledown
31

В следующей таблице собраны символы "бинарных отношений". Вокруг них TEX также оставляет дополнительные пробелы, но не такие, как вокруг символов бинарных операций.
<
<
>
>
=
=
:
:
≤ \leq
≥ \geq
6= \neq
∼ \sim
≃ \simeq
≈ \approx
∼
=
\cong
≡ \equiv
≪ \ll
≫ \gg
=
\doteq k
\parallel
⊥ \perp
∈ \in
/
∈ \notin
∋
\ni
⊂ \subset
⊆ \subseteq
⊃ \supset
⊇ \supseteq
≻ \succ
≺ \prec
\succeq
\preceq
≍ \asymp
⊑ \sqsubseteq
⊒ \sqsupseteq |= \models
⊢
\\vdash
⊣
\dashv
⌣ \smile
⌢ \frown
|
\mid
⊲⊳
\bowtie
∝ \propto
⊳
\lhd
E
\unlhd
⊲
\rhd
D
\unrhd
⊏
\sqsubset ⊐
\sqsupset
⋊
⋉
\Join
Последние семь из перечисленных команд (от \lnd до \Join) в L
A
TEX’е 2
ε
определены только в том случае, если вы подключите пакет \latexsym.
В следующей таблице собраны стрелки различных видов.
→
\to
−→ \longrightarrow
⇒ \Rightarrow
=
⇒ \Longrightarrow
֒
→
\hookrightarrow
7→
\mapsto
7−→ \longmapsto
\leadsto
←
\gets
←− \longleftarrow
← \leftarrow
⇐= \Longleftarrow
←֓
\hookleftarrow
↔
\leftrightarrow
←→ \longleftrightarrow
↑
\uparrow
⇑
\Uparrow
↓
\downarrow
⇓
\Downarrow l
\updownarrow m
\Updownarrow
ր
\nearrow
ց
\searrow
ւ
\swarrow
տ
\nwarrow
↼
\leftharpoonup
⇀
\rightharpoonup
⇁
\rightharpoondown ⇋
\rightleftharpoons
Команда \leadsto в L
A
TEX’е будет определена, только если подключить стилевой пакет latexsym.
Из привычных российскому читателю символов в вышеприведенных таб- лицах нет знаков > и 6, более привычных, чем
≥ и ≤; кроме того, грече-
32

ская буква «каппа» лучше смотрится в виде κ (\varkappa), чем в виде κ
(\kappa). Эти символы отсутствуют в «классическом» L
A
TEX’овском наборе;
при использовании L
A
TEX’ом 2
ε
они становятся доступными, если подклю- чить в преамбуле стилевой пакет amssymb. Для этого надо после строчки с командой\documentclass написать \usepackage{amssymb}. При условии,
что это сделано, можно задавать в математических формулах букву κ ко- мандой \varkappa, а символы > и6 – командами \leqslant и \geqslant соответственно.
5.2.2 Символы пунктуации, акцентирования и интервалы в фор- мулах
Как уже отмечалось, несколько пробелов подряд L
A
TEX считает за один.
Однако возникают ситуации, особенно при наборе формул, когда нужно по- ставить большой или, наоборот, маленький интервал между символами. В
табл. 15 перечислены команды для установки различных горизонтальных ин- тервалов в формулах.
Таблица 15
Команды установки интервалов в формулах
Команда Ширина
Команда Ширина
\,
узкий
\:
средний
\;
широкий
\!
отрицательный
\quad очень широкий
\qquad самый широкий
Приведем пример.
Исходный текст: $a\,b\:c\;d\!e \quad f \qquad g $.
Результат: a b c de f g
Для пунктуации в формулах используются многоточия, запятые и дру- гие символы, перечень которых дан в табл. 16
Таблица 16
Знаки пунктуации и многоточия
Знак Команда Знак Команда Знак Команда
,
,
;
;
:
\colon
\ldotp
·
\cdotp
\ldots
· · ·
cdots
\vdots
\ddots
Подчеркнем, что команды акцентирования в математической моде отли- чаются от команд в текстовой моде. Например, в математической моде сим-
33

вол используется для обозначения производной или штриха. Список команд акцентирования приведен в табл. 17
Таблица 17
Команды акцентирования в математической моде
Знак Команда Знак Команда
Знак Команда
ˆa
\hat{a}
ˇ
a
\check{a}
˜a
\tilde{a}
`a
\grave{a}
˙a
\dot{a}
¨a
\ddot{a}
´a
\acute{a}
˘
a
\breve{a}
¯a
\bar{a}
a
\ver{a}
b
A
\widehat{A}
e
A
\widetilde{A}
Обращение к этим командам происходит стандартно:
$\vec a. \quad \dot{c}. \qquad \widehat{DE}$
a.
˙c.
d
DE
При отсутствии нужного акцента необходимую комбинацию можно под- готовить при помощи команды \stackrel{вверх}{низ}. Чтобы получить в математической формуле изображение перечеркнутого символа, надо перед соответствующей командой поставить команду not:
$v \stackrel{\mathrm{def}}{\equiv} 0. \quad \{ x : x \not\in X \}$
v def
≡ 0, {x : x 6∈ X}
Для проведения линии над выражением и подчеркивания выражения существуют соответственно команды:
\overline и \underline
Чтобы провести над выражением левую или правую стрелку, надо обра- титься соответственно к командам \overleftarrow и \overrightarrow
Пример:
\begin{displaymath}
\overrightarrow{ABCD} \qquad \underline{l+m+n}
\end{displaymath}
−−−−→
ABCD
l + m + n
5.2.3 Степени, индексы, разделители
Для набора степеней и индексов в формулах используются соответствен- но символы «^» и «_». Если индексом или степенью является выражение, то его надо заключить в фигурные скобки. Если у символа есть верхний и ниж- ний индексы, то можно указывать в любой последовательности. Для того чтобы верхние и нижние индексы располагались на разных расстояниях от символа, можно использовать «пустые» формулы.
34

Пример. Исходный текст:
\\ $a_1$ \qquad \(x^2\) \qquad
$e^{-\alpha t}$ \qquad $\beta^3_{i+j}$ \\*
\qquad $e^{x^2} \neq{e^x}^2$ \qquad $R_j{}^i_{k l}$
Результат:
a
1
x
2
e
−αt
β
3
i
+j e
x
2 6= e x2
R
j i
kl
Квадратный корень вводится как \sqrt, а корень степени n генерируется командой \sqrt[n]. Высота и ширина знака корня определяются системой
L
A
TEX автоматически. Чтобы поставить только знак корня, не продолжая его над последующими символами, используется команда surd.
Часто размеры знака корня у соседних символов оказываются различ- ными. Для того чтобы таких явлений не было, используются пустые (неви- димые) символы - «страты», имеющие определенную ширину и высоту:
• \mathstrut – невидимый символ, имеющий высоту круглой скобки;
• \vphantom{math} – символ, имеющий высоту формулы math;
• \phantom{math} – пробел ширины выражения math;
Приведем демонстрационный пример. Исходный текст:
$\sqrt{d^2+x}+\sqrt{y}$ \\*
$\sqrt{\mathstrut d^2+x}+\sqrt{\mathstrut y}$ \\*
$\sqrt[3]{2} \: \surd (x^2+y^2)$
Результат:
√
d
2
+ x + √y p
d
2
+ x +
p y
3
√
2
√
(x
2
+ y
2
)
Дроби можно писать в одну строку при помощи символа наклонной чер- ты «/», а для дробей на нескольких уровнях применяется команда:
\frac{числитель}{знаменатель}
Приведем пример. Исходный текст:
Дробь в тексте. \\
Вариант 1: $(x+1)/x$\\
Вариант 2:
$\frac{x+1}{x}$ \\
А вот как она выглядит в выключной формуле:
\begin{displaymath}
(x+1)/x, \qquad \frac{x+1}{x}.
\end{displaymath}
35

Результат:
Дробь в тексте.
Вариант 1: (x + 1)/x
Вариант 2:
x
+1
x
А вот как она выглядит в выключной формуле:
(x + 1)/x,
x + 1
x
5.3
Математические операторы
В следующей таблице собраны команды для воспроизведения названий математических операторов наподобие sin, log и т.п., обозначаемых последо- вательностью букв, набираемых прямым шрифтом. Любой из этих операто- ров можно снабдить верхним и/или нижним индексом.
Таблица 18
Математические операторы
Оператор Команда Оператор Команда Оператор Команда log
\log lg
\lg ln
\ln arg
\arg ker
\ker dim
\dim hom
\hom deg
\deg exp
\exp sin
\sin arcsin
\arcsin cos
\cos arccos
\arccos tan
\tan arctan
\arctan cot
\cot sec
\sec csc
\csc sinh
\sinh cosh
\cosh coth
\coth tanh
\tanh
В этой таблице обозначения tan, arctan и т.д. – не что иное, как принятые в англоязычной литературе обозначения для тангенса, арктангенса и т.д. В
отечественной литературе, однако же, принято обозначать tg, ctg и т.д.
Так как в стандартном комплекте TEX’a или L
A
TEX’a команд для этого нет, их приходится при необходимости определять самому. Это просто: в пре- амбуле документа надо написать следующую команду:
\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}\nolimits}
После этого команда \tg будет создавать в математической формуле за- пись tg с правильными пробелами вокруг нее. Другие команды такого типа определяются аналогично, надо только вместо tg написать то название функ- ции (скажем, arctg), которое должно появиться на печати. Если вы получили
L
A
TEX вместе с русификацией, то не исключено, что в ней уже определены команды для принятых в России обозначений тангенса, арктангенса и т.п.
36

Описанный выше способ определения команд является частным случа- ем существующей в L
A
TEX’e конструкции для определения новых команд (по- дробнее см. раздел 6).
5.4
Операции с пределами
Теперь обсудим, как можно было бы получить, скажем, формулу n
X
i
=1
n
2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
с дополнительными элементами над и
под знаком операции суммирования –
P
. В данной формуле эти элементы называются предела- ми суммирования, поэтому в TEX’нической терминологии записи над и под знаком операции принято называть пределами (по-английски limits). В исход- ном тексте пределы обозначаются точно так же, как индексы; имея в виду,
что знак суммы генерируется командой \sum, получаем, что вышеназванную формулу можно получить так:
$$\sum_{i=1}^n {n^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
В этом примере существенно, что формула была выключной; во внутри- текстовой формуле пределы печатаются на тех же местах, что их индексы:
Тот факт, что
P
n i
=1
(2n
− 1) = n
2
, Тот факт, что следует из формулы для суммы
$\sum_{i=1}^n (2n-1)=n^2$,
арифметической прогрессии следует из формулы для суммы арифметической прогрессии
Можно добиться, чтобы пределы были сверху и снизу знака оператора.
Рассмотрим это на примере еще одной математической операции, для кото- рой требуются пределы, – это интеграл. В L
A
TEX’e есть команды \int для обычного знака интеграла
R
и \oint для знака «контурного интеграла»
H
При этом, для экономии места, пределы интегрирования помещаются не свер- ху и снизу от знаков интеграла, а по бокам (даже в выключных формулах):
$$\int_0^1x^2\,dx=1/3 $$
Z
1 0
x
2
dx = 1/3.
Если, тем не менее, необходимо, чтобы пределы интегрирования стояли над и под знаком интеграла, то надо непосредственно после \int записать команду \limits, а уже после нее - обозначения для пределов интегрирова- ния:
37

$$\int\limits_0^1x^2\,dx=1/3$$
1
Z
0
x
2
dx = 1/3.
Тот же прием с командой \limits можно применить, если хочется, чтобы во внутритекстовой формуле пределы у оператора стояли над и под ним, а не сбоку.
Если, с другой стороны, надо, чтобы пределы у какого-либо оператора стояли не над и под знаком оператора, а сбоку, то после команды для знака оператора надо записать команду \nolimits, а уже после нее – обозначения для «пределов»:
$$\prod\nolimits_{i=1}^ni=n!$$
Y
n i
=1
i = n!
Вот список операторов, ведущих себя так же, как \sum и \int:
P
\sum
Q
\prod
S
\bigcup
T
\bigcap
`
\coprod
L
\bigoplus
N
\bigotimes
J
\bigodot
W
\bigvee
V
\bigwedge
U
\biguplus
F
\bigsqcup lim
\lim lim sup \limsup lim inf \liminf max \max min
\min sup
\sup inf
\inf det
\det
Pr
\Pr gcd
\gcd
Все обозначения из этой таблицы употребительны в отечественной ли- тературе, за исключением \gcd для наибольшего общего делителя (у нас его иногда обозначают НОД) и \Pr для вероятности, обычно обозначаемой Р.
Бывает нужно, чтобы один из пределов состоял из нескольких строк,
тогда используется команда \substack{line1\\line2} из пакета amsmath.
Пример:
Y
1
≤i≤n
1
≤j≤m a
ij
$$
\prod_{\substack{1 \le i \le n\\
1 \le j \le m}} a_{ij}
$$
5.5
Применение скобок
Если перед одной скобкой стоит \left, а перед другой скобкой стоит
\right
, то на печати размер этих скобок будет соответствовать высоте фраг- мента формулы, заключенного между \left и \right.
38