Файл: Практикум по курсам Информатика, Прикладное программное обеспечение.pdf

58 x
0

y
0

Given x
2
y
2

r
2
x y

2
x
0

y
0

F r
( )
Find x y

(
)

F
6
 
2.414 0.414








F 3
( )
2.871 0.871








Рисунок 6.10 – Параметризация предыдущей задачи
Упражнения
1. Построить график функции f(x) и приблизительно определить один из корней уравнения. Решить уравнение f(x) = 0 с помощью встроенной функции MathCAD root.
2. Для полинома g(x) выполнить следующие действия:
1) с помощью команды Символы → Коэффициенты полинома создать вектор V, содержащий коэффициенты полинома;
2) решить уравнение g(x) = 0 с помощью функции polyroots;
3) решить уравнение символьно, используя команду Символы → Переменные →
Вычислить.

59 3. Решить систему линейных уравнений:
1) матричным способом и используя функцию lsolve;
2) методом Гаусса;
3) используя функцию Find.
№ ва- ри- анта
Система уравнений
№ вари- анта
Система уравнений
1 1
2 3
1 2
3 1
2 3
0, 3 1, 2 0, 2 0, 6 0,1 0, 2 1, 6 0, 3 0, 05 0, 34 0,1 0, 32
x
x
x
x
x
x
x
x
x


 











6














83 1
25 0
35 0
6 0
32 0
43 0
25 0
3 0
91 1
2 0
45 0
21 0
3 2
1 3
2 1
3 2
1
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
2














01 1
72 0
44 0
12 0
77 0
04 0
86 0
02 0
56 0
12 0
02 0
78 0
3 2
1 3
2 1
3 2
1
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
7


















210 3
5 0
5 0
100 5
0 6
5 0
5 56 5
0 5
0 3
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
,
x
,
x
,
x
x
,
,
x
,
x
,
x
3















83 0
86 0
44 1
42 1
32 0
54 1
74 0
54 1
58 0
22 0
44 0
66 0
3 2
1 3
2 1
3 2
1
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
8

















37 0
63 0
05 0
35 0
31 0
06 0
34 0
01 0
15 0
15 0
94 0
45 0
3 2
1 3
2 1
3 2
1
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
4















38 0
14 0
84 0
87 0
23 0
93 0
19 0
98 0
25 0
94 0
94 0
21 0
3 2
1 3
2 1
3 2
1
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
9














32 0
1 0
34 0
03 0
42 0
71 0
1 0
15 0
34 0
15 0
05 0
63 0
3 2
1 3
2 1
3 2
1
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
5














69 0
69 0
95 0
13 0
12 0
05 0
99 0
9 0
29 9
76 1
37 0
63 0
3 2
1 3
2 1
3 2
1
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
10

















6 0
3 0
2 0
2 1
4 0
5 1
1 0
3 0
3 0
1 0
6 1
2 0
3 2
1 3
2 1
3 2
1
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
,
x
,
x
,
x
,
4. Найти все решения систем нелинейных уравнений

60

Контрольные вопросы
1. Какие виды уравнений позволяет решать MathCAD?
2. Какая функция решения уравнений не требует начального приближения?
3. Приведите примеры использования функции polyroots.
4. Приведите примеры использования функции root.
5. Как найти начальное приближение корня цравнения?
6. Какие способы решения систем линейных уравнений в MathCAD Вы знаете?
7. Какой блок используется при решении систем нелинейных уравнений?

61
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
Цель: знакомство с операциями дифференцирования и интегрирования в системе
MathCAD
7.1 Операторы дифференцирования и интегрирования
Математические выражения в MathCAD могут содержать операторы дифференци- рования и интегрирования. Их удобно вводить с помощью панели инструментов
«Calculus» (Таблица 7.1). Причем операции дифференцирования и интегрирования обо- значаются при помощи традиционных обозначений.
Таблица 7.1 – Операторы дифференцирования и интегрирования
Оператор
Назначение оператора
Панель инструментов x
f x
( )
d d
Возвращает производную f(x) в точке x n
x f x
( )
d d
n
Возвращает n-ю производную f(x) в точке x a
b x
f x
( )



d
Возвращает определенный интеграл от f(x) c пределами интегрирования от a до b
Примечание – производные высшего порядка рассчитываются до 5-го включительно
При этом функция f(x), значения a, b и x должны быть определены заранее. Кроме того, функция f(x) может быть функцией многих переменных.
Дифференцирование
Вычислительный процессор MathCAD обеспечивает вычисление производной с точностью до 7 – 8 – го знака после запятой.
Дифференцирование в точке
Для того чтобы продифференцировать некоторую функцию f(x), в некоторой точке необходимо (рис.7.1):
1) определить точку, в которой вычисляется производная;
2) ввести оператор дифференцирования, заполнить соответствующие маркеры;
3) ввести оператор численного вывода результата – знак =. f x
( )
sin x
( )
x

x
0.1

x f x
( )
d d
0.033


Рисунок 7.1 – Пример применения оператора дифференцирования
При дифференцировании в MathCAD обычно не возникает сложных проблем. Ис- ключение составляют функции, которые дифференцируются в окрестности сингулярной точки, например, в точке x=0 для функции f(x) = 1/x. Проверить это вы можете самостоя- тельно.

62
Производные высших порядков
В MathCAD можно вычислять производные до 5-го порядка. Для этого следует проделать те же операции, что и в предыдущем случае производной 1-го порядка. На ри- сунке 7.2 приведен соответствующий пример. f x
( )
sin x
( )
x

x
0.1

2
x f x
( )
d d
2 0.332


Рисунок 7.2 – Оператор дифференцирования второго порядка
Частные производные
Можно вычислять частные производные функций со многими переменными. Для этого по умолчанию используются те же операторы дифференцирования (см. Таблица
7.1). Это несколько отличается от классических обозначений в математике. При желании форму записи можно изменить, но мы этим заниматься не будем. В качестве примера на рисунке 7.3 приведена программа вычисления градиента функции двух переменных с ис- пользованием частных производных.
f x y

(
)
0.15 x
2

x y


0.01 y
4



заданная функция
N
5

i
0 2 N



j
0 2 N



определяем новую векторную функцию через час тные производные от f(x,y)
grad x y

(
)
x f x y

(
)
d d
y f x y

(
)
d d









Готовим данные для графика
:
V
i j
 grad i
N

j
N


(
)

X
i j

V
i j

 
0

Y
i j

V
i j

 
1

Строим график векторного поля градиента заданной функции:
X Y

(
)
Рисунок 7.3 – Построение векторного поля градиента заданной функции

63
Математическую интерпретацию полученных результатов вы можете дать, исполь- зуя векторный анализ.
Интегрирование
Численное интегрирование – достаточно простая вычислительная операция. Оно реализовано в виде соответствующего оператора MathCAD (см. Таблица 7.1). Результатом численного интегрирования является некоторое число – значение определенного интегра- ла. Задача нахождения неопределенного интеграла решается с помощью символьного процессора. Здесь эти вопросы не рассматриваются.
Определенный интеграл
Чтобы вычислить определенный интеграл, следует написать его обычную матема- тическую форму (рис. 7.4).
0

x exp x
2

 



d
0.886

Рисунок 7.4 – Расчет определенного интеграла
Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами, для этого используется соответствующий символ бесконечности (рис. 7.5).



x exp x
2

 



d
1.772

Рисунок 7.5 – Вычисление интеграла с бесконечными пределами
Можно определить, как это делается ниже в задаче 1, свою интегральную функ- цию.
Задача 1. Используя операторы интегрирования, определите функцию I(g,x), ко-
торая возвращает определенный интеграл от некоторой функции g(x) c пределами ин-
тегрирования от 0 до x.
Решение.


x
0
g(x)dx
:
x)
I(g,
Комментарий: Обратите внимание на то, что функция I() имеет два аргумента:
x – простая переменная, g – имя некоторой подынтегральной функции. Это следует из
формы записи g в правой части. При обращении к функции I() это обстоятельство необ-
ходимо учитывать: первым фактическим параметром должна быть или стандартная,
или предварительно определенная функция. Например, допустимы следующие обращения:
1)I(exp,1)=1.718;
2)I(sin,2)=1.416;
3)y(x):=x2;
I(y,1)=0.333.
Задача 2. Построить график функции



x x
dx x
sin(x)
Si(x)
.
Комментарий. Такая функция называется интегральный синус. Подынтегральное
выражение имеет особенность при x=0, что необходимо учитывать при численном по-
строении Si(x). Для подынтегрального выражения можно записать

64 5!
x
3!
x
1
x sin(x)
4 2




.
При малом x можно ограничиться несколькими первыми членами такого ряда, на-
пример,
3!
x
1
x sin(x)
2


.
Решение. Определим функцию Si(x)





x x
2
)dx x
sin(x)
,
6
x
0.1,1
x if(
:
Si(x)
,
зададим значения x:=-20,-19.8..20 и построим график.
Кратные интегралы
Кратным называется интеграл функции многих переменных, берущийся по не- скольким переменным. Для вычисления кратного интеграла требуется:
1) ввести оператор определенного интеграла;
2) на месте подынтегральной функции ввести еще один или несколько операторов интегрирования;
3) ввести переменные интегрирования и их пределы изменения.
Пример показан на рисунке 7.6. a
0

b
3

a b
x
1

1
y x
y
3




d



d
9

Рисунок 7.6 – Вычисление кратного интеграла
Пример: длина дуги кривой
Рассмотрим пример использования вычислительного процессора для расчета дли- ны участка кривой, заданной некоторой функцией f(x) в промежутке a

x

b (рис. 7.7). В данной задаче необходимо применить совместно операции интегрирования и дифферен- цирования.
20 0
20 5
0 5
3.70 3 3.70 3

Si x
( )
20 20

x

65 f x
( )
x
2
x
3 2


заданная функ ция a
0

b
2

x a a
0.1

 b


пред ел ы изм енения x
0 0.5 1
1.5 2
0 0.2 0.4 0.6
f x
( )
x график ф ункц ии опред ел яем д л ину дуги ф ункц ии f(x)
в пром ежутк е a
x

b

L
a b
x
1
x f x
( )
d d






2






d

расчет по форм уле
L
2.42

от вет
Рисунок 7.7 – Программа расчета длины дуги заданной кривой
Упражнения
1. Найдите производную функции в точке x=1.36.
2. Найдите частные производные и градиент функции. Постройте график вектор- ного поля градиента функции.
Номер варианта
F(x,y)
1 2
3 2
sin
y
x
x

4
x
y
x
2 2
,
0
sin

5
y
x
x
y
2 1
,
0
cos

6
x
y
x


1 2
sin
5 7
xy
y
y
x



2 3
2 3
2 2
,
1 8
2 2
xy
y
x

9 9
,
0 7
,
0
sin
3 2


y
x
10 3
5 2
2 2
y
x


66 3. Вычислите значение определенного интеграла в указанных пределах
Номер варианта
Подынтегральная функция
Интервал интегрирования
 
f x
 
,
a b
1 2
8,2 4,5
x
x
e

 
0, 3 2
2 2
1
x
x

 
0,1 3


2 2
1 23,5 23,5
x
x


 
0,1 4


4 3
2 2
1
x
x

2 0,
2






5


4 4
2 4
16
x
x
e
x
x






0,3.7 6


3 2 2
1 54, 7
x

0, 4 3




7 5
3 3
3 4
1 2
x
x
x
x
x






1, 64 8
2 2
1 1
x
sin
x
sin




2 0

,
9 2
1





 
x
x
 
3 0,
10
x
ln
x
sin
,
2 6
2 2


2 2
2 1
.
,
.