Файл: Лабораторная работа 4mр исследование моделей авторегрессии и скользящего среднего первого и второго порядков методические указания к лабораторным работам по дисциплине Математическое моделирование радиотехнических устройств и систем.pdf

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Ордена трудового красного знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И
ИНФОРМАТИКИ
Кафедра радиотехнических систем
Лабораторная работа №4MР
ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ АВТОРЕГРЕССИИ И СКОЛЬЗЯЩЕГО
СРЕДНЕГО ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
Методические указания к лабораторным работам по дисциплине
«Математическое моделирование радиотехнических устройств и систем» для студентов направления 11.04.01 «Радиотехника»
Москва 2018

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью данной лабораторной работы является изучение авторегрессионных моделей, а также моделей скользящего среднего, позволяющих имитировать случайные процессы с заданным спектром и корреляционной функцией; анализ статистических характеристик имитируемых случайных процессов.
2. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. Изучить по указанной литературе алгоритмы формирования дискретных реализаций случайных процессов с заданной корреляционной функцией.
2. Найти коэффициенты уравнения авторегрессии. Продумать и записать ал- горитм моделирования, а также подобрать параметры моделирования в соответствии с вариантом, заданным в Таблице 1.
3. Подготовить ответы на контрольные вопросы.
Таблица 1. Номера вариантов и исходные данные
N
вар
AR_1
AR_2
MA_1
MA_2
1
r
(
1
)
= 0.85
r
(
1
)
= 0.82; r
(
2
)
= 0.4
θ
1
= 0.5
θ
1
= 1.5; θ
2
=1.3
2
r
(
1
)
= 0.92
r
(
1
)
= 0.88; r
(
2
)
= 0.6
θ
1
= 0.75
θ
1
= –1.2; θ
2
=1.4
3
r
(
1
)
= 0.76
r
(
1
)
= –0.95; r
(
2
)
= 0.92
θ
1
= –0.8
θ
1
= 0.7; θ
2
=0.3
4
r
(
1
)
= 0.97
r
(
1
)
= 0.6; r
(
2
)
= –0.1
θ
1
= 1.5
θ
1
= –0.6; θ
2
=1.1
5
r
(
1
)
= 0.9
r
(
1
)
= 0.98; r
(
2
)
= 0.93
θ
1
= –1.2
θ
1
= 1.3; θ
2
= –0.6
6
r
(
1
)
= 0.82
r
(
1
)
= –0.5; r
(
2
)
= 0.4
θ
1
= 0.7
θ
1
= 0.5; θ
2
=1.2
7
r
(
1
)
= 0.88
r
(
1
)
= 0.92; r
(
2
)
= 0.82
θ
1
= –0.6
θ
1
= 0.75; θ
2
=0.9
8
r
(
1
)
= 0.95
r
(
1
)
= –0.2; r
(
2
)
= 0.8
θ
1
= 1.3
θ
1
= –0.8; θ
2
=1.5
9
r
(
1
)
= 0.78
r
(
1
)
= 0.97; r
(
2
)
= 0.94
θ
1
= 0.8
θ
1
= 0.8; θ
2
= –1.2
10 r
(
1
)
= 0.98
r
(
1
)
= –0.1; r
(
2
)
= –0.9
θ
1
= –0.9
θ
1
= –0.9; θ
2
=1.3
3. ЗАДАНИЕ НА РАБОТУ
1. Используя систему инженерных и научных расчетов, например MATLAB,
Matcad, Scilab и т.п. сгенерировать гауссовскую случайную величину с нуле- вым средним и единичной дисперсией и получить для нее графики реализа- ции, оценки корреляционной функции и оценки спектра. Всего необходимо получить 3 графика. Определить экспериментальное значение дисперсии данной случайной величины.
2

2. Используя систему инженерных и научных расчетов, например MATLAB,
Matcad, Scilab и т.п. получить графики: а) реализаций;
б) нормированных корреляционных функций и их оценок; в) спектров и их оценок для соответствующих моделей временных рядов:
1) авторегрессии 1-го порядка (AR_1),
2) авторегрессии 2-го порядка (AR_2),
3) скользящего среднего 1-го порядка (МА_1),
4) скользящего среднего 2-го порядка (МА_2) в соответствии с вариантом задания (Таблица 1). Всего необходимо полу- чить 12 графиков.
3. Вычислить дисперсию и оценку дисперсии случайного процесса для каждой модели временного ряда.
4. Сравнить графики нормированных корреляционных функций и спектров,
полученных при моделировании, с теоретическими зависимостями и соот- ветствующими графиками нормальной случайной величины. Сделать выво- ды.
5. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ
Количество отсчетов для моделирования случайного процесса выбирается студентом самостоятельно. В большинстве случаев достаточно порядка 1000
отсчетов. Для наглядности, при выводе графиков корреляционной функции и спектральной плотности мощности, можно взять порядка 100 точек и менее.
При выполнении работы в качестве формирователя независимых отсчетов гауссовой случайной величины с нулевым средним и единичной дисперсией ξ
k
рекомендуется использовать встроенные генераторы случайных чисел с задан- ным законом распределения. Например, в системе инженерных и научных рас- четов MATLAB таким генератором является встроенная функция randn(m,n),
формирующая гауссовскую случайную величину с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, где m, n ‒ размерность массива значений случайной величины. Поскольку формируемые величины являются независи- мыми, нет необходимости вызывать эту функцию в каждом цикле.
Начальные условия в рекуррентных уравнениях, т.е. предыдущие значения последовательности случайных величин при вычислении первого значения этой последовательности можно выбирать нулевыми. При этом будет иметь место некоторый переходный процесс, в результате которого начальный участок мо- делируемого процесса будет искаженным. Однако после окончания переходно- го процесса последовательность становится стационарной.
Параметры рекуррентных алгоритмов определяются на этапе предваритель- ной подготовки к моделированию.
3

5. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1. Название работы, фамилия имя отчество студентов.
2. Цель работы, вариант задания.
3. Графики временных реализаций, корреляционных функций и спектров для гауссовской случайной величины и соответствующих моделей вре- менных рядов: авторегрессии 1-го и 2-го порядка, скользящего среднего
1-го и 2-го порядка.
4. Вычисленные значения дисперсии и их оценок.
5. Выводы по работе.
6. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Модели случайных процессов, имеющих место в системах передачи инфор- мации, зачастую могут быть представлены в виде временных рядов. В частно- сти частотно-селективные и временные селективные замирания могут быть представлены посредством моделей авторегрессии. При этом повышение по- рядка модели позволяет повысить степень ее адекватности реальному случай- ному процессу. В лабораторной работе рассмотрены два типа временных рядов
– авторегрессионные последовательности (AR) и процессы со скользящим сред- ним (MA). В реальных условиях чаще всего используется комбинированная мо- дель авторегрессии и скользящего среднего (ARMA).
1. Модель авторегрессии первого порядка (марковский процесс) описывается следующим выражением:
k
k
k
x
x




1 1
, (1)
где ξ
k
– независимые отсчеты гауссовой случайной величины с нулевым сред- ним и единичной дисперсией, коэффициент ρ
1
находится в пределах −1< ρ
1
< 1.
Спектрально-корреляционные характеристики такого процесса:
автокорреляционная функция
k
x
k
B
1 2
)
(



,
2
)
0
(
x
B


,
0

k
нормированная автокорреляционная функция
k
k
r
1
)
(


,
1
)
0
(

r
,
0

k
дисперсия


2 1
2 2
1






x
, где
2


‒ дисперсия белого шума.
спектральная плотность
f
f
G





2
cos
2 1
2
)
(
1 2
1 2



,
2 1
0

 f
2. Модель авторегрессии второго порядка можно описать следующим выра- жением:
k
k
k
k
x
x
x








2 2
1 1
, (2)
4

где ξ
k
– независимые отсчеты гауссовой случайной величины с нулевым сред- ним и единичной дисперсией, а коэффициенты ρ
1 и ρ
2
можно найти из выраже- ний для нормированной автокорреляционной функции.
Нормированная автокорреляционная функция:
)
2
(
)
1
(
)
(
2 1




k
r
k
r
k
r


,
1
)
0
(

r
,


2 1
1
)
1
(




r
,
0

k
Таким образом, зная r(1) и r(2) – эти значения заданы в Таблице 1, можно найти
ρ
1 и ρ
2
, решая систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
Остальные спектрально-корреляционные характеристики можно найти, вычис- лив коэффициенты ρ
1 и ρ
2
такого процесса:
дисперсия
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
3 1
2 1 2
2 2
1 1
x
x s
r s
r r r r
r r
-
=
-
-
-
+
-
спектральная плотность
f
f
f
G









4
cos
2 2
cos
)
1
(
2 1
2
)
(
2 2
1 2
2 2
1 2






,
2 1
0

 f
3. Модель скользящего среднего первого порядка описывается следующим выражением:
1 1



k
k
k
x



, (3)
где ξ
k
, ξ
k−1
,...– независимые гауссовские случайные величины, коэффициент θ
1
лежит в пределах −1< θ
1
< 1.
Спектрально-корреляционные характеристики такого процесса можно найти по следующим формулам:
автокорреляционная функция
2 1
1 1
)
1
(





R
,
0
)
(

k
R
,
1

k
дисперсия


2 2
1 0
1






спектральная плотность


f
f
G





2
cos
2 1
2
)
(
1 2
1 2



,
2 1
0

 f
4. Модель скользящего среднего второго порядка можно описать следую- щим выражением:
1 1
2 2
k
k
k
k
x
x q x q x
-
-
=
-
-
. (4)
автокорреляционная функция может быть найдена по формуле:


2 2
2 1
2 1
1 1
)
1
(









R
,
2 2
2 1
2 1
)
2
(







R
0
)
(

k
R
,
3

k
дисперсия


2 2
2 2
1 0
1








5

Спектральная плотность




f
f
f
G









4
cos
2 2
cos
1 2
1 2
)
(
2 2
1 2
2 2
1 2






,
2 1
0

 f
Уравнения (1)-(4) описывают поведение некоторого дискретного линейного фильтра, который из дискретного белого шума, подаваемого на его вход, фор- мирует на выходе дискретный случайный процесс с заданным корреляционно- спектральными характеристиками. Различие между методами моделирования состоит в путях перехода от заданных корреляционно-спектральных характери- стик к параметрам алгоритма, т.е. в подготовительной работе. Следует отме- тить, что алгоритмы формирования случайной величины с другими видом кор- реляционно-спектральных характеристик отличаются от алгоритмов, представ- ленных в данной работе. Другие алгоритмы можно найти в [4,5].
7. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Откуда произошло название «скользящее среднее»?
2. Что характеризует корреляционная функция случайного процесса?
3. Поясните смысл термина «спектральная плотность мощности».
4. Как вычислить энергию сигнала, зная спектральную плотность мощно- сти?
5. Каким образом в моделях авторегрессии задается аддитивный гаус- совский шум?
6. Как влияет изменение знака перед коэффициентом
ρ
1
на форму спектра процесса авторегрессии первого порядка?
7. Как определяется дисперсия в модели авторегрессии второго порядка?
8. Каково условие стационарности для процесса авторегрессии второго по- рядка?
9. Каким образом вычисляются коэффициенты уравнения авторегрессии второго порядка исходя из заданных начальных условий?
10.Сколько значений корреляционной функции необходимо задать или оце- нить в ходе эксперимента, чтобы составить уравнение авторегрессии тре- тьего порядка?
11.Как найти коэффициенты модели авторегресии третьего порядка?
12.Как определяются параметры модели скользящего среднего?
13.Существуют ли неустойчивые процессы со скользящим средним?
14.Можно ли назвать процесс со скользящим средним коррелированным?
15.В чем состоит различие между моделями авторегрессии и скользящего среднего.
16.Что понимают под стационарностью случайного процесса?
17.Как вычислить спектральную плотность мощности сигнала, зная его кор- реляционную функцию?
18.Каков вид корреляционной функции случайного процесса со скользящим средним?
6

8. ЛИТЕРАТУРА
1. Дьяконов В.П. Simulink: Самоучитель. ‒ М.:ДМК-Пресс,2013. ‒ 784с.
2. Математическоемоделирование систем связи : методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Математическое моделирование каналов и систем телекоммуникаций» для студентов специальностей
21040665 «Сети связи и системы коммутации» и 21040465 «Многоканаль- ные телекоммуникационные системы» / сост. : К. К. Васильев, М. Н. Слу- живый. – Ульяновск : УлГТУ, 2007. – 24 с.
3. Бокс, Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. / Дж. Бокс, Г.
Дженкинс; пер. с англ. А. Л. Левшина, под ред. В. Ф. Писаренко. – М. :
Мир, 1974. – 406 с.
4. Васильев К. К. Математическое моделирование систем связи: учебное по- собие / К. К. Васильев, М. Н. Служивый. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. –
стр. 53-59.
5. Быков, В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике /
В. В. Быков. – М. : Советское радио, 1971.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПРИМЕР ПРОГРАММЫ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ
РЕАЛИЗАЦИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛИ
АВТОРЕГРЕССИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ИССЛЕДОВАНИЯ ЕЕ
КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНЫХСВОЙСТВ
clear all close all
%%%% Модель авторегрессии первого порядка %%%%%
%Задание количества дискретных отсчетов в реализации случай- ной величины
N=1000;
%Формирование последовательности независимых нормальных слу- чайных чисел ksi=randn(1,N);
% Вычисление значения rо (r1 берётся из Таблицы 1 в соответ- ствии с вариантом)
r1=0.87;
ro1=r1;
% Начальное значение x(1)=ksi(1);
% Цикл формирования случайной величины х for i=2:N
x(i)=ro1*x(i-1)+ ksi(i);
end
% Вывод графика реализации случайного процесса plot(x), xlabel(
'Number of sample'
),
title(
'Time realization'
),grid;
7

%%%Вычисление и оценивание корреляционно-спектральных харак- теристик %%%
disp(
'Теоретическое значение дисперсии случайного процесса'
)
% Формула для определения дисперсии dispX=1/(1-ro1^2)
disp(
'Экспериментальное значение дисперсии случайного процес- са'
)
DispX = var(x)
% Задание количества дискретных отсчетов для моделирования
K=100;
k=0:1:K-1;
% Вычисление автокорреляционной функции по заданной формуле
B(1)=dispX;
for i=2:K+1
B(i)=dispX*r1^(i-1);
end
% Нормирование автокорреляционной функции b=B/dispX;
% Оценивание автокорреляционной функции
R=xcorr(x,K);
% Вычисление смещенной оценки автокорреляционной функции; r=R/(N*var(x));
% Вывод К значений графика нормированной автокорреляционной функции и ее
% оценки figure,
plot(k,b(1:K),
'b'
,k,r(K+1:2*K),
'r'
),xlabel(
'Time shift'
),
title(
'Correlation function'
),grid;
legend(
'theoretical value'
,
'experimental value'
);
% Задание числа точек БПФ
M=1024;
% Выполнение БПФ над корреляционной функцией
W=fft(R,M);
% Вычисление спектральной плотности с помощью БПФ
W=W.*conj(W)/M;
% Нормирование спектральной плотности к максимальному значе- нию
W=W/max(W);
% Задание оси частот f=0:1:M-1; f=f/M;
%Вычисление спектральной плотности по заданной формуле
G=2*var(ksi)./(1+ro1^2-2*ro1*cos(2*pi*f));
GG=G/max(G);
figure,
plot(f(1:M/4),GG(1:M/4),
'b'
,f(1:M/4),W(1:M/4),
'g'
); title(
'Spectrum Estimate'
);
8

xlabel(
'f'
); grid;
legend(
'theoretical value'
,
'experimental value'
);
9