Файл: Решение. Задание Вычислить произведение матриц а и В, если Решение.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Задание 1. Найти матрицу С, равную сумме матриц А и В, еслиРешение.Задание 2. Вычислить произведение матриц А и В, еслиРешение.Задание 3. Вычислить произведение матриц А и В, еслиРешение.Задание 4. Найти матрицу, обратную к матрице АРешение.Найдем определитель матрицы А:Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:Составим матрицу алгебраических дополнений:Транспонируем полученную матрицу:Найдем обратную матрицу:Задание 5. Решить систему матричным методомРешение.Система уравнений в общем виде: , гдеА – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестныхВ – столбец свободных членов.Решение системы в общем виде:Найдем А–1 – матрицу, обратную матрице А.Найдем определитель матрицы А:Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:
Составим матрицу алгебраических дополнений:Транспонируем полученную матрицу:Найдем обратную матрицу:Найдем решение системы уравнений:Получили решение системы уравнений:Задание 6. Решить систему методом ГауссаРешение.Представим систему в матричном виде:Вычтем из 2-ой строки 1-ую строку, умноженную на 2. Получим:Вычтем из 3-ей строки 1-ую строку. Получим:Разделим 2-ую строку на (–5). Получим:Вычтем из 1-ой строки 2-ую строку, умноженную на 2. Получим:Вычтем из 3-ей строки 2-ую строку. Получим:Разделим 3-ю строку на (–0,4). Получим:Вычтем из 1-ой строки 3-ю строку, умноженную на 0,2. Получим:Вычтем из 2-ой строки 3-ю строку, умноженную на 1,4. Получим:Получили решение системы уравнений:Задание 7. Решить систему методом КрамераРешение.Найдем главный определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных:
Найдем 1-ый определитель матрицы. Для этого вместо 1-го столбца подставим столбец свободных членов:Найдем 2-ой определитель матрицы. Для этого вместо 2-го столбца подставим столбец свободных членов:Найдем 3-ий определитель матрицы. Для этого вместо 3-го столбца подставим столбец свободных членов:Получили решение системы уравнений:Задание 8. Фирмой было выделено 236 тыс. усл. ед. для покупки 29 предметов для оборудования офиса: несколько компьютеров по цене 20 тыс. усл. ед. за компьютер, офисных столов по 8,5 тыс. усл. ед. за стол, стульев по 1,5 тыс. усл. ед. за стул. Позже выяснилось, что в другом месте компьютеры можно приобрести по 19,5 тыс. усл. ед., а столы – по 8 тыс. усл. ед. (стулья по той же цене), благодаря чему на ту же сумму было куплено на 1 стол больше. Выяснить, какое количество единиц каждого вида оборудования было приобретено.Решение.Пусть х – количество компьютеров, у – количество столов, (29 – х – у) – количество стульев. Тогда получим систему уравнений:Решим полученную систему уравнений методом Крамера:Отсюда:Получили:– 7 компьютеров;– 9 столов;– (29 – 7 – 9) = 13 стульев.Так как в условии сказано, что приобрели на 1 стол больше, следовательно:компьютеров – 7, столов – 10, стульев – 13.Задание 9. Объемы трех видов продукции, выпущенных фирмой «Пласт» за декабрь прошедшего года задаются вектором , цена каждого из выпускаемых товаров (в рублях) задается вектором . Определить стоимость продукции, выпущенной фирмой «Пласт» за декабрь прошедшего года.
Решение.Чтобы найти стоимость продукции, необходимо найти скалярное произведение векторов и .Задание 10. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах пространства и . Ответ округлить с точностью до десятых.Решение.Найдем векторное произведение векторов:Найдем модуль векторного произведения, который является площадью параллелограмма:Задание 11. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0 (–1; 2; 4), перпендикулярно вектору Решение.Уравнение прямой найдем по формуле:x0, y0, z0 – координаты точкиА, В, С – координаты вектораЗадание 12. В треугольнике с вершинами А(–2; 0), В(2; 6) и С(4; 2) проведена медиана ВЕ. Написать уравнение медианы ВЕ.Решение.Медиана ВЕ делит сторону АС пополам. Найдем координаты точки Е – середины стороны АС:Составим уравнение прямой ВЕ по точкам В(2; 6) и Е(1; 1):Задание 13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкиА(–3; 2; 1) и В(4; –1; 2) перпендикулярно плоскости Решение.Нормаль заданной плоскости
Составим матрицу алгебраических дополнений:Транспонируем полученную матрицу:Найдем обратную матрицу:Найдем решение системы уравнений:Получили решение системы уравнений:Задание 6. Решить систему методом ГауссаРешение.Представим систему в матричном виде:Вычтем из 2-ой строки 1-ую строку, умноженную на 2. Получим:Вычтем из 3-ей строки 1-ую строку. Получим:Разделим 2-ую строку на (–5). Получим:Вычтем из 1-ой строки 2-ую строку, умноженную на 2. Получим:Вычтем из 3-ей строки 2-ую строку. Получим:Разделим 3-ю строку на (–0,4). Получим:Вычтем из 1-ой строки 3-ю строку, умноженную на 0,2. Получим:Вычтем из 2-ой строки 3-ю строку, умноженную на 1,4. Получим:Получили решение системы уравнений:Задание 7. Решить систему методом КрамераРешение.Найдем главный определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных:
Найдем 1-ый определитель матрицы. Для этого вместо 1-го столбца подставим столбец свободных членов:Найдем 2-ой определитель матрицы. Для этого вместо 2-го столбца подставим столбец свободных членов:Найдем 3-ий определитель матрицы. Для этого вместо 3-го столбца подставим столбец свободных членов:Получили решение системы уравнений:Задание 8. Фирмой было выделено 236 тыс. усл. ед. для покупки 29 предметов для оборудования офиса: несколько компьютеров по цене 20 тыс. усл. ед. за компьютер, офисных столов по 8,5 тыс. усл. ед. за стол, стульев по 1,5 тыс. усл. ед. за стул. Позже выяснилось, что в другом месте компьютеры можно приобрести по 19,5 тыс. усл. ед., а столы – по 8 тыс. усл. ед. (стулья по той же цене), благодаря чему на ту же сумму было куплено на 1 стол больше. Выяснить, какое количество единиц каждого вида оборудования было приобретено.Решение.Пусть х – количество компьютеров, у – количество столов, (29 – х – у) – количество стульев. Тогда получим систему уравнений:Решим полученную систему уравнений методом Крамера:Отсюда:Получили:– 7 компьютеров;– 9 столов;– (29 – 7 – 9) = 13 стульев.Так как в условии сказано, что приобрели на 1 стол больше, следовательно:компьютеров – 7, столов – 10, стульев – 13.Задание 9. Объемы трех видов продукции, выпущенных фирмой «Пласт» за декабрь прошедшего года задаются вектором , цена каждого из выпускаемых товаров (в рублях) задается вектором . Определить стоимость продукции, выпущенной фирмой «Пласт» за декабрь прошедшего года.
Решение.Чтобы найти стоимость продукции, необходимо найти скалярное произведение векторов и .Задание 10. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах пространства и . Ответ округлить с точностью до десятых.Решение.Найдем векторное произведение векторов:Найдем модуль векторного произведения, который является площадью параллелограмма:Задание 11. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0 (–1; 2; 4), перпендикулярно вектору Решение.Уравнение прямой найдем по формуле:x0, y0, z0 – координаты точкиА, В, С – координаты вектораЗадание 12. В треугольнике с вершинами А(–2; 0), В(2; 6) и С(4; 2) проведена медиана ВЕ. Написать уравнение медианы ВЕ.Решение.Медиана ВЕ делит сторону АС пополам. Найдем координаты точки Е – середины стороны АС:Составим уравнение прямой ВЕ по точкам В(2; 6) и Е(1; 1):Задание 13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкиА(–3; 2; 1) и В(4; –1; 2) перпендикулярно плоскости Решение.Нормаль заданной плоскости
будет перпендикулярна самой плоскости и параллельна плоскости, которую необходимо найти.
Возьмем произвольную точку М(х; у; z). Тогда условие компланарности векторов задает требуемое уравнение плоскости:
– смешанное произведение трех векторов.
Найдем смешанное произведение трех векторов и приравняем его нулю, тем самым получим требуемое уравнение плоскости:
Задание 14. Написать уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b = 3
Решение.
Уравнение эллипса в общем виде:
Параметр b = 3, необходимой найти параметр а.
Расстояние между фокусами:
Найдем параметр а из соотношения:
Следовательно, уравнение эллипса:
Задание 15. Найти эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением 
. Ответ округлить с точностью до десятых.
Решение.
Уравнение гиперболы в общем виде6
Найдем эксцентриситет гиперболы по формуле: