Файл: Решение заданий В10 по материалам открытого банка задач егэ по математике 2013 года Классическое определение вероятности Теоремы о вероятностях событий.pptx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 269
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
Классическое определение вероятности
Теоремы о вероятностях событий
Классическое определение вероятности
Алгоритм нахождения вероятности случайного события:
Для нахождения вероятности случайного события при проведении некоторого испытания следует найти:
1) число N всех возможных исходов данного испытания;
2) количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие А;
3) частное N(A)/N, оно и будет равно вероятности события А.
Вероятность события А обозначать Р(А). Значит Р(А)= N(A)/N
если они могут произойти одновременно,
при одном исходе эксперимента и несовместными,
если они не могут происходить одновременно.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) =Р(А)+Р(В)
Вероятность суммы двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих
событий, уменьшенной на вероятность их
произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)
Ответ: 0,1.320190Решение:Всего участников 250, т.е. N=250.В запасную аудиторию направили 250 − 120 − 120 = 10 человек, N(A)=10. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна P(A)=10/250 =1/25= 4/100= 0,04. На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.Ответ: 0,04.320191Решение:Пусть один из близнецов находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе может оказаться 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность этого события равна 12 : 25 = 0,48.Другой способ: Рассмотрим первую группу. Вероятность того, что Аня окажется в ней, равна . Если Аня уже находится в первой группе, то вероятность того, что Нина окажется этой же группе равна . Поскольку эти две группы равноправны, вероятность того, что подруги окажутся в одной группе, равна В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.Ответ: 0,48.320192Решение:Машин желтого цвета с черными надписями 23, всего машин 50. Поэтому вероятность того, что на случайный вызов приедет машина желтого цвета с черными надписями, равна: В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей: 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.Ответ: 0,46.320193Решение:На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна: В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.Ответ: 0,2.320194Решение:Частота события «гарантийный ремонт» равна 51 : 1000 = 0,051. Она отличается от предсказанной вероятности на
0,051 - 0,045 = 0,006. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?Ответ: 0,006.320195Решение:В кармане было 4 конфета, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».Ответ: 0,25.320208Решение:На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна: Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.Ответ: 0,25.320209
Ответ: 0,35.320171Решение:Определим события А = {кофе закончится в первом автомате}, В = {кофе закончится во втором автомате},А ∙ В = {кофе закончится в обоих автоматах},А + В = {кофе закончится хотя бы в одном автомате}.По условию задачи P(A)=P(B)=0,3 и P(A B)=0,12 События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.Ответ: 0,52.320172Решение:Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2.1 выстрел: 0,82 выстрел : 0,83 выстрел : 0,84 выстрел : 0,25 выстрел : 0,2По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна: 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.Ответ: 0,02.320173Решение: Найдем вероятность {неисправны оба автомата}. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: P() = 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие хотя бы один автомат исправен} противоположное. Следовательно, его вероятность равна P(A) = 1 – P( ) = 1 − 0,0025 = 0,9975. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.Ответ: 0,9975.320174Решение: Введем обозначения для событий:А = "первая лампа перегорит", Р(А)=0,3.= "первая лампа не перегорит", Р()=1-0,3=0,7.В = "вторая лампа перегорит", Р(В)=0,3.
= "вторая лампа не перегорит", Р()=1-0,3=0,7.Составим дерево вариантов и найдём необходимые вероятности.Рассмотрим событие С="Хотя бы одна лампа не перегорит". Событие С означает, что не перегорит первая лампа, или не перегорит вторая или не перегорят обе вместе.Р(С) = Р(А)·Р() + Р()·Р(В) + Р()·Р() == 0,3·0,7 + 0,7·0,3 + 0,7·0,7 = 0,91 Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.Ответ: 0,91.320175А ВВ 0,30,30,30,70,70,7Решение:Введем обозначения для событий:A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года». События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B), откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89. Тогда: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Ответ: 0,08.320176Решение: (другой способ)Будем рассматривать как геометрическую вероятность. Срок службы - 100%. 3% 97%0__________1год______________________________100% 11% 89%0____________________2года___________________100%Нас интересует промежуток от года до двух лет. 11% - 3% = 8%8%= 0,08Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Ответ: 0,08.320176Решение:Введем обозначения для событий: А1 = {яйцо поступило из первого хозяйства}, А2 = {яйцо поступило из второго хозяйства}, H = {яйцо имеет высшую категорию}. Обозначим буквой p искомую вероятность события А1 и нарисуем дерево. По условию величина P(H) равна 0,35.
0,051 - 0,045 = 0,006. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?Ответ: 0,006.320195Решение:В кармане было 4 конфета, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».Ответ: 0,25.320208Решение:На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна: Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.Ответ: 0,25.320209
если они могут произойти одновременно,
при одном исходе эксперимента и несовместными,
если они не могут происходить одновременно.
Пример: Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные.
События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события В, а ненаступление события А – наступление события В.Событие, противоположное событию А, обозначают символом Ᾱ. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. P(A)+P(Ᾱ)=1.Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) =Р(А)+Р(В)
Вероятность суммы двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих
событий, уменьшенной на вероятность их
произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)
событие, которое наступает тогда и только тогда, когда одновременно происходят и событие А, и событие В.
Произведение двух событий А и В обозначается А·В
Два события А и В, являются независимыми, если вероятность каждого из них (Р(А) и Р(В)) не зависит от наступления или не наступления второго.
Если события А и В независимые, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А·В) =Р(А)·Р(В)
Решение:Введем обозначения для событий: А1 = {стекло выпущено на первой фабрике}, А2 = {стекло выпущено на второй фабрике}, В = {стекло окажется бракованным}, = {стекло не окажется бракованным}. По условию задачи составим дерево и найдём необходимые вероятности.Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая –– 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая –– 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ: 0,019. Ω А2ВВА1 0,030,550,450,970,990,01319353 Решение:Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.Ответ: 0,156.319355Решение:Определим события: А = {вопрос на тему «Вписанная окружность»}, Р(А)=0,2. В = {вопрос на тему «Параллелограмм»}, Р(В)=0,15. События А и В несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно.Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А)+Р(В)=0,2 + 0,15 = 0,35.На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.Ответ: 0,35.320171Решение:Определим события А = {кофе закончится в первом автомате}, В = {кофе закончится во втором автомате},А ∙ В = {кофе закончится в обоих автоматах},А + В = {кофе закончится хотя бы в одном автомате}.По условию задачи P(A)=P(B)=0,3 и P(A B)=0,12 События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.Ответ: 0,52.320172Решение:Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2.1 выстрел: 0,82 выстрел : 0,83 выстрел : 0,84 выстрел : 0,25 выстрел : 0,2По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна: 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.Ответ: 0,02.320173Решение: Найдем вероятность {неисправны оба автомата}. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: P() = 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие хотя бы один автомат исправен} противоположное. Следовательно, его вероятность равна P(A) = 1 – P( ) = 1 − 0,0025 = 0,9975. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.Ответ: 0,9975.320174Решение: Введем обозначения для событий:А = "первая лампа перегорит", Р(А)=0,3.= "первая лампа не перегорит", Р()=1-0,3=0,7.В = "вторая лампа перегорит", Р(В)=0,3.
= "вторая лампа не перегорит", Р()=1-0,3=0,7.Составим дерево вариантов и найдём необходимые вероятности.Рассмотрим событие С="Хотя бы одна лампа не перегорит". Событие С означает, что не перегорит первая лампа, или не перегорит вторая или не перегорят обе вместе.Р(С) = Р(А)·Р() + Р()·Р(В) + Р()·Р() == 0,3·0,7 + 0,7·0,3 + 0,7·0,7 = 0,91 Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.Ответ: 0,91.320175А ВВ 0,30,30,30,70,70,7Решение:Введем обозначения для событий:A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года». События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B), откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89. Тогда: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Ответ: 0,08.320176Решение: (другой способ)Будем рассматривать как геометрическую вероятность. Срок службы - 100%. 3% 97%0__________1год______________________________100% 11% 89%0____________________2года___________________100%Нас интересует промежуток от года до двух лет. 11% - 3% = 8%8%= 0,08Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Ответ: 0,08.320176Решение:Введем обозначения для событий: А1 = {яйцо поступило из первого хозяйства}, А2 = {яйцо поступило из второго хозяйства}, H = {яйцо имеет высшую категорию}. Обозначим буквой p искомую вероятность события А1 и нарисуем дерево. По условию величина P(H) равна 0,35.