Файл: "Решение дифференциальных уравнений высших порядков".rtf

Аналогично вводится понятие частного интеграла. Если известно общее решение или общий интеграл , то решить задачу Коши можно следующим способом: из соотношений и и тех, которые получаются из них (n-1) - кратным дифференцированием по x с использованием начальных условий , получаем систему для определения .

Решив эту систему и подставив конкретные значения в или в , получим решение задачи Коши:
,
или частный интеграл , с помощью которого неявно задано решение задачи Коши.

Если в равенстве учесть явный вид зависимости от , то получим общее решение в так называемой форме Коши:

Если соотношения и заданы в виде:

---

то называют общим интегралом в параметрической форме.

Для уравнения не разрешенного относительно производной , задача Коши ставится аналогично задаче Коши для уравнения

При этом если заданным числам и каждому из значений , определяемых из уравнения:

соответствует только одно решение, то говорят, что задача Коши имеет единственное решение. 2

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для уравнения):

Пусть функция F непрерывна в области G и имеет непрерывные частные производные по . Тогда для любой точки такой, что

---

существует единственное решение уравнения , определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям . 2

Пример 1:

Показать, что функция заданная уравнением является решением уравнения

Решение:

Находим . Имеем:





Подставим наши вычисления в , и тогда получим:

Следовательно, функция является решением данного уравнения. 5

Пример 2:

Показать что функция , параметрически заданна системой уравнений:

---

Является решением уравнения:

Решение:

Находим . Имеем:



Подставим получившееся результаты в уравнение

Следовательно, функция является решением данного уравнения. 1

---

Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам

Из того, что дифференциальное уравнение n-го порядка
(1)
имеет решение, разумеется, не следует, что это решение выражается в квадратурах (например, для уравнений первого порядка такая возможность представляется далеко не всегда).

Оставляя в стороне линейные уравнения, рассмотрим здесь некоторые, наиболее важные типы уравнений, интригуемых в квадратурах или по крайней мере допускающих понижение порядка.

Интегрирование таких уравнений будет происходить путем сведения к уравнениям низшего порядка. При этом порядки промежуточных уравнений, называемых промежуточными интегралами, постепенно понижаются, а число входящих в них произвольных постоянных увеличивается.

Интегрирование закончено, когда мы доходим до общего интеграла:

вовсе не содержащего производных и заключающего n произвольных постоянных.

Наиболее простым является тот случай, когда правая часть уравнения (1) зависит только от x:

Общее решение в этом случае получаем с помощью последовательных квадратур:

Решение с начальными условиями может быть записано в виде:

---