Файл: "Решение дифференциальных уравнений высших порядков".rtf

Отсюда имеем и


Постоянную определяем из начальных условий. Полагая и в формуле , получаем т.е. . Следовательно, искомое частное решение есть
. 2

---

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Структура общего решения. Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение

имеет постоянные коэффициенты p и q.

Будем искать частное решение уравнения в форме , где k - постоянное число, подлежащее определению. Из имеем и .

Подставляя в уравнение , получаем

Или, сокращая на множитель , который не равен нулю, находим

Квадратное уравнение , из которого определяется k, называется характеристическим уравнением данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Заметим, что для написания характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные и функцию

---

y заменить на соответствующее степени величины k, рассматривая при этом функцию y как производную нулевого порядка. 1

Определение.

Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n - го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

Определение.

Если из функций y_i составить определитель n - го порядка
,
то этот определитель называется определителем Вронского.

(Юзеф Вронский (1776 - 1853) - польский математик и философ - мистик)

Теорема:

Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

Теорема:

Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Теорема:

Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

---

Теорема.

Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

где C_{i -} постоянные коэффициенты. 2

Пример:

Решить уравнение

Это уравнение не является линейным, понизим порядок уравнения с помощью подстановки .
Тогда








Окончательно получаем

Заключение

Получилось установить связь между функциями и переменными величинами, т.е. найдены дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной.

---

Установлено характерное свойство дифференциальных уравнений, в частности то, что они имеют бесконечное множество решений.

Рассмотрели примеры решения дифференциальных задач. И показали, что их решение сводится к элементарным задачам, т.е. к элементарным дифференциальным уравнениям.

Список литературы

1. Я.С. Бугров, С.М. Никольский "Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление." учебник для вузов - 2010г.

2. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестнюк Н. А." Дифференциальные уравнения: примеры и задачи." учебное пособие - 2009г.

. Школьник А. Г." Дифференциальные уравнения." учебное пособие - 1963г.

. Демидович Б. П." Краткий курс высшей математики" учебное пособие 2011г.

. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. М.: Мир, 2009.

. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 2011.

---