ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Вписанная и описанная окружности четырехугольникаРешение задачОкружность называют описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершиныТеорема 10.1. Если четырехугольник является вписанным в четырехугольник, то сумма его противолежащих углов равна 180°.Теорема 10.2. Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180°, то около него можно описать окружность.ВАСDОколо равнобедренной трапеции можно описать окружностьОколо ромба нельзя описать окружность Центр описанной около четырехугольника окружности-точка пересечения серединных перпендикуляровОкружность называют вписанной в четырехугольник, если она касается всех его сторонТеорема 10.3. Если четырехугольник является описанным около четырехугольника, то суммы его противолежащих сторон равны.Теорема 10.4. Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.АВСDВ прямоугольник нельзя вписать окружность Если в прямоугольник вписана окружность, то он является квадратом. В ромб можно вписать окружность 1) Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. ˪ =82, ˪ =58°Найти: ˪С, ˪DABРешение:˪А+ ˪ С = ˪ D+ ˪ B =180° по теореме 10.1Это не противолежащие углы, т.к. в описанном четырехугольнике их сумма равнялась бы 180 градусов. ˪С= 180-82=98°˪D= 180-58=122°Ответ: 122° Дано: окружность описана около трапеции ABCD, ˪А=42°Найти: ˪В, ˪С, ˪D Решение:Окружность можно описать только около равнобедренной трапецииВ равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.˪А= ˪В = 42°Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
˪С=˪D=180°-42°=138°Ответ:˪В = 42°, ˪С=˪D=138°3) Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол А на 58° больше угла В и в 4 раза больше угла С. Найдите углы четырехугольника. ˪ А =˪В+58°, ˪ А=4·˪СНайти: ˪А, ˪В, ˪С, ˪DРешение:˪С=х, ˪А=4х, ˪В=4х-58°х=36°х+4х= 180°˪D= 180-86=94°Ответ: 144°,86°, 36°, 94°5х=180- ˪А=4·36=144°˪В= ˪А-58=144-58=86°4) В четырехугольнике АВСD известно, что ˪АВС=68°, ˪ADC=112°, ˪BAC=23°, ˪DAC=52°. Найдите угол между диагоналями четырехугольника, противолежащий стороне AD.Дано: четырехугольник АВСD, ˪АВС=68°, ˪ADC=112°, ˪BAC=23°, ˪DAC=52°АВСDОНайти: ˪AODРешение:˪АВС+˪ADC=68+112=180°Значит, около четырехугольника можно описать окружность. ˪BACи ˪ВDC вписанные и опираются на одну дугу, ˪BAC= ˪ВDC=23° ˪АDВ=˪ADC-˪BDС=112-23=89°Рассмотрим ∆АОD: ˪АОD=180-˪ADВ-˪DАС=180-52-89=39°Ответ: ˪АОD=39°5) В четырехугольник АВСD вписана окружность. Найдите сторону CD, если АВ=5 см, ВС=9 см, АD=6 см. Дано: окружность вписана в четырехугольник АВСD. АВ=5 см, ВС=9 см, АD=6 смНайти: CDРешение: BC+AD=9+6=15 смАВ+СD=15 см по Т.10.3. СD=15-АВ=15-5=10 смОтвет: СD=10 см6) Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 6 см, а большая боковая сторона этой трапеции равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.Найти: MNДано: окружность вписана в п/уг трапецию ABCD, R= 6 см, CD=20см. MN-средняя линия.АВСDMNРешение:Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: MN= Поскольку окружность вписана в трапецию, то суммы противолежащих сторон равны. BC+AD=AB+CD.AB=2R=2·6=12 смBC+AD=12+20=32 см.MN== Ответ: MN=16 см
˪С=˪D=180°-42°=138°Ответ:˪В = 42°, ˪С=˪D=138°3) Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол А на 58° больше угла В и в 4 раза больше угла С. Найдите углы четырехугольника. ˪ А =˪В+58°, ˪ А=4·˪СНайти: ˪А, ˪В, ˪С, ˪DРешение:˪С=х, ˪А=4х, ˪В=4х-58°х=36°х+4х= 180°˪D= 180-86=94°Ответ: 144°,86°, 36°, 94°5х=180- ˪А=4·36=144°˪В= ˪А-58=144-58=86°4) В четырехугольнике АВСD известно, что ˪АВС=68°, ˪ADC=112°, ˪BAC=23°, ˪DAC=52°. Найдите угол между диагоналями четырехугольника, противолежащий стороне AD.Дано: четырехугольник АВСD, ˪АВС=68°, ˪ADC=112°, ˪BAC=23°, ˪DAC=52°АВСDОНайти: ˪AODРешение:˪АВС+˪ADC=68+112=180°Значит, около четырехугольника можно описать окружность. ˪BACи ˪ВDC вписанные и опираются на одну дугу, ˪BAC= ˪ВDC=23° ˪АDВ=˪ADC-˪BDС=112-23=89°Рассмотрим ∆АОD: ˪АОD=180-˪ADВ-˪DАС=180-52-89=39°Ответ: ˪АОD=39°5) В четырехугольник АВСD вписана окружность. Найдите сторону CD, если АВ=5 см, ВС=9 см, АD=6 см. Дано: окружность вписана в четырехугольник АВСD. АВ=5 см, ВС=9 см, АD=6 смНайти: CDРешение: BC+AD=9+6=15 смАВ+СD=15 см по Т.10.3. СD=15-АВ=15-5=10 смОтвет: СD=10 см6) Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 6 см, а большая боковая сторона этой трапеции равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.Найти: MNДано: окружность вписана в п/уг трапецию ABCD, R= 6 см, CD=20см. MN-средняя линия.АВСDMNРешение:Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: MN= Поскольку окружность вписана в трапецию, то суммы противолежащих сторон равны. BC+AD=AB+CD.AB=2R=2·6=12 смBC+AD=12+20=32 см.MN== Ответ: MN=16 см