Файл: Лекция 14 теория электрической связи радиотехника каналы связи модели модель среды.pdf

Лекция № 1-4
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
СВЯЗИ
РАДИОТЕХНИКА
КАНАЛЫ СВЯЗИ
МОДЕЛИ :
1. МОДЕЛЬ СРЕДЫ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ НОСИТЕЛЯ
ИНФОРМИЦИИ;
2. МОДЕЛЬ ТЕХНИЧЕСКИХ
СРЕДСТВ КАНАЛА СВЯЗИ.
ЛИНЕЙНАЯ
РАДИОТЕХНИКА
НЕЛИНЕЙНАЯ
РАДИОТЕХНИКА
ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
1.
ТЕОРИЯ
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ;
2.
ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ
.
- Гармонический анализ и
синтез сигналов.
- Дискретное
преобразование Фурье.
- Преобразование Лапласа.
- Преобразование
Гильберта.
- Модуляция сигналов.
- Теорема Котельникова.
- Статистическая
радиотехника.
- Нелинейные
преобразования сигналов.
- Характеристики
нелинейных цепей.
- Методы модуляции и
детектирования сигналов.

Преобразование Гильберта
(Ортогональное дополнение сигнала)
Обозначение: u
*
(t)=Н(????(????)) – прямое преобразование Гильберта.
u(t)=Н
-1
(u
*
(t)) –обратное преобразование Гильберта.
Действительный сигнал
: u(t)=U
m
(t)

cos(

t+

(t))= U
m
(t)

cos(

(t)).
Комплексный (аналитический) сигнал.
????
̅(t)=u(t)+ju
*
(t)=U
m
(t)

e
j

(t)
=U
m
(t)

e
j

(t)

e
j

t
= U
*
m
(t)

e
j

t
.
(*)
????
????
(????) = √????
????
(????) + (????
∗
)
????
(????) - это модуль вектора
(огибающая сигнала);
(

(t)+

t) –
полная (текущая) фаза
сигнала.
u(t) = U
m
(t)

cos

(t) = U
m
(t)

cos(

t+

(t)) – это
действительная часть
комплексного сигнала (
реальный
сигнал
). u(t) = Re (U
m
(t)

e
j

(t)
).
u
*
(t) = U
m
(t)

sin

(t) = U
m
(t)

sin(

t+

(t)) – это
мнимая часть
комплексного сигнала (
на самом деле ее нет
– ее
придумал
Гильберт
).
Преобразование Гильберта
дает возможность
избежать неоднозначности при векторном представлении сигнала.
u
* u t u(t)

Прямое
преобразование Гильберта
????
∗
(????) = Н(????(????)) =
????

∫
????(

)
????−

????

∞
−∞
Обратное
преобразование Гильберта
????(????) = −
????

∫
????
∗
(????)
????−

????

∞
−∞
.
Огибающая сигнала, вернее, модуль сигнального вектора находится по формуле
????
????
(????) = √????
????
(????) + (????
∗
)
????
(????).
Текущая фаза сигнала определяется следующим образом:
U
*
m
(t)=U
m
(t)

e
j

(t)
– это вектор - комплексная амплитуда сигнала (в ней
содержится информация об
амплитуде
и
начальной
фазе сигнала)

(t)=
−???????????????????? ቀ
????
∗
(????)
????(????)
ቁ для u(t)

0;
для u(t)

0;
−???????????????????? ቀ
????
∗
(????)
????(????)
ቁ


для u(t)

0.

Мгновенная частота находится как производная фазы по времени:

(????) =
????

(????)
????????
=
???? [???????????????????? (
????
∗
(????)
????(????) )]
????????
=
????
???? + (
????
∗
(????)
????(????) )
????
???? (
????
∗
(????)
????(????) )
????????
=
=
????
????
(????)
????
????
(????) + (????
∗
(????))
????
(????
∗
(????))
′
????(????) − ????(????)
′
(????
∗
(????))
????
????
(????)
=
=
(????
∗
(????))
′
????(????)−????(????)
′
(????
∗
(????))
????
????
(????)+(????
∗
(????))
????
.

Преобразование Гильберта от гармонического сигнала
Дано гармоническое колебание
????(????) = ????????????(

????)
.
????
∗
(????) =
????

∫
????(

)
????−

????

=
????

∫
????????????(

)
????−

????

=
∞
−∞
∞
−∞
(Произведем замену переменных /t-

=

/ и изменим пределы интегрирования)
=
1

lim

0
∫
????????????(

(???? −

)) − ????????????(

(???? +

))

∞

????

=
=
1

lim

0
∫
????????????????(

????)????????????(

)

∞

????

=
????????????????(

????)

lim

0
∫
????????????(

)

∞

????

=
(Табличный интеграл lim

0
∫
????????????(

)

∞

????

=

2
. Это мы докажем в дальнейшем).
=
????????????????(

????)


2
=
????????????(

????) = ???????????? ቀ

???? −

????
ቁ,
т. е. сигнал задерживается по фазе на 90
0
.
Можно записать и по другому:
????
∗
(????) =
????

∫
????????????(

)
????−

????

=
∞
−∞
????????????(

????)
.
Аналогично можно показать, что
????
∗
(????) =
????

∫
????????????(

)
????−

????

=
∞
−∞
− ????????????(

????) = ???????????? ቀ

???? −

????
ቁ.

Преобразование Гильберта на положительной полуоси частот изменяет фазу составляющих
спектра сигнала на -90
0
.
Преобразование Гильберта на отрицательной полуоси частот изменяет фазу составляющих
спектра сигнала на +90
0
.
Амплитуды спектральных составляющих не изменяются.
АЧХ и ФЧХ цепи, осуществляющей преобразование Гильберта

0

????
̅(j

)

1

0

(

)

/2
-

/2
j,

0
K(j

)= 0,

=0
-j,

0

Если сигнал задать в виде совокупности спектральных составляющих:
????(????) = ∑
????
????
????????????(

????
???? +

????
)
????
????=????
или ????(????) = ∑
????
????
????????????(

????
???? +

????
)
????
????=????
,
то для сопряженных по Гильберту сигналов получим соответствующие выражения
????(????) = ∑
????
????
????????????(

????
???? +

????
)
????
????=????
и ????(????) = − ∑
????
????
????????????(

????
???? +

????
)
????
????=????

Комплексным (аналитическим) представлением сигнала можно пользоваться
только для анализа
линейных
радиотехнических цепей, удовлетворяющих
принципу суперпозиции, когда преобразование не приводит к взаимодействию
действительной и мнимой составляющих.
Для анализа
нелинейных
цепей необходимо пользоваться
суммой двух
комплексно-сопряженных сигналов
, в которой
мнимые части взаимно
компенсируются
:
????(????) = ????
????
(????)????????????(

????
???? +

(????)) =
????
????
(????)
????
(????
????(

????
????+

(????))
+ ????
−????(

????
????+

(????))
).
(**)
????(????)
????
∗
(????)
Векторное представление
аналитического сигнала
(*)

0
????
????
????(????)
????
∗
(????)
????
Векторное представление сигнала
комплексно-сопряженными векторами
(**)
-

0
????
????
????

0
????
∗
(
????
)
????

Такое представление сигнала очень сильно облегчает многие нелинейные
преобразования.
Например, вы забыли чему равен квадрат косинуса: ????????????
????
(

????
???? +

(????)).
Возьмем выражение
(
????
????(

????
????+

(????))
+ ????
−????(

????
????+

(????))
????
)
????
=
=
????
????????(

????
????+

(????))
+ ????????
????(

????
????+

(????))
????
−????(

????
????+

(????))
+????
−????????(

????
????+

(????))
????
=
=
????+????????????????????(

????
????+

(????))
????
=
????+????????????????(

????
????+

(????))
????
.

ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИИ № 1-4
1. Известны действительная u(t) и мнимая u
*
(t) части аналитического сигнала.
Как, используя эти части, записать выражение для аналитического сигнала.
2. Комплексный (аналитический) сигнал описывается выражением:
????
̅(t) =U
m
(t)

????
????(????+
????
????
)
Напишите выражение, описывающее процесс, который мы наблюдаем в
реалии на осциллографе и изобразите его осциллограмму.
3. Комплексный (аналитический) сигнал описывается выражением:
????
̅(t)=U
m
(t)e
j(ωt+ϕ(t))
Напишите выражение, описывающее процесс, который соответствует
преобразованию Гильберта.
4. Дан сигнал u(t). Как записывается прямое преобразование Гильберта от этого
сигнала?

5. Дано преобразование Гильберта u
*
(t). Как записать выражение для
обратного преобразования Гильберта? Что является результатом этого
преобразования?
6. Известны действительная u(t) и мнимая u
*
(t) части аналитического сигнала.
Изобразите векторную диаграмму этого сигнала.
7. Представьте векторно сигнал в виде суммы комплексно-сопряженных
векторов.
8. Пользуясь комплексным представлением гармонического колебания,
докажите, что cos
2
(

)=0.5(1+cos2

).
9. Имеется
четырехполюсник,
который
осуществляет
преобразование
Гильберта. Изобразите его АЧХ.
10. Имеется четырехполюсник, который осуществляет преобразование
Гильберта. Изобразите его ФЧХ.