Файл: Решение слау по дисциплине Математическое моделирование процессов и систем Вариант 16 Исполнитель.pdf

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Инженерная школа энергетики,
Научно-образовательный центр И.Н.Бутакова
14.05.02 «Атомные станции: проектирование, эксплуатация и инжиниринг»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
Решение СЛАУ
по дисциплине:
Математическое моделирование процессов и систем
Вариант 16
Исполнитель:
Мавродиев В.И. студент группы
5091 28.03.2023
Руководитель:
Кудров Александр Иванович
Старший преподаватель
Томск – 2023

2
Цель лабораторной работы: составить программу для решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, методом простых итераций и методом Зейделя.
Задание
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, методом простых итераций и методом Зейделя. Получить аналитическое решение системы и сравнить его с результатами программных вычислений. Для итерационных методов решения определить какой метод сходится быстрее.
Сделать выводы и оформить отчет согласно требованиям.
Решение
Решение СЛАУ методом Гаусса (приведение к треугольному виду):
{
−5????
1
− ????
2
− 3????
3
− ????
4
= 18;
−2????
1
+ 8????
3
− 4????
4
= −12;
−7????
1
− 2????
2
+ 2????
3
− 2????
4
= 6;
2????
1
− 4????
2
− 4????
3
+ 4????
4
= −12;
(1)
Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом
Гаусса.
(
−5 −1
−3 −1
−2 0 8
−4
−7 2
−2
−4 2
−4
−2 4
|
18
−12 6
−12
)
(2)
1-ую строку делим на -5:
(
1 0.2 0.6 0.2
−2 0 8
−4
−7 2
−2
−4 2
−4
−2 4
|
−3.6
−12 6
−12
),
(3)
`

3 к 2 строке добавляем 1 строку, умноженную на 2, к 3 строке добавляем 1 строку, умноженную на 7, от 4 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 2:
(
1 0.2 0.6 0.2 0
0.4 9.2
−3.6 0
0
−0.6
−4.4 6.2
−5.2
−0.6 3.6
|
−3.6
−19.2
−19.2
−4.8
),
(4)
2-ую строку делим на 0.4:
(
1 0.2 0.6 0.2 0 1 23
−9 0
0
−0.6
−4.4 6.2
−5.2
−0.6 3.6
|
−3.6
−48
−19.2
−4.8
),
(5) от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 0.2, к 3 строке добавляем 2 строку, умноженную на 0.6, к 4 строке добавляем 2 строку, умноженную на 4.4:
(
1 0 −4 2
0 1 23
−9 0
0 0
0 20 96
−6
−36
|
6
−48
−48
−216
),
(6)
3-ую строку делим на 20, к 1 строке добавляем 3 строку, умноженную на 4, от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 23, от 4 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 96:
(
1 0 0
0.8 0 1 0
−2.1 0
0 0
0 1
0
−0.3
−7.2
|
−3.6 7.2
−2.4 14.4
)
(7)
Ответ:
{
????
1
= −2
????
2
= 3
????
3
= −3
????
4
= −2
(8)

4
Метод Гаусса состоит из двух этапов:
Прямой ход (Приведение матрицы A к верхнетреугольному виду)
Для этого выполняется n преобразований матрицы A. На каждом шаге преобразования выбирается главная k-я главная или ведущая строка.
Диагональные элементы главной строки называются главными (ведущими) элементами.
На прямом ходе выполняются следующие действия:
• для всех строк, кроме главной, находим множитель l ik
;
• к каждой неглавной добавляем главную, умноженную на множитель l ik
;
• главную строку делим на главный элемент a kk
;
• главную строку вычеркиваем, размерность системы становится (n – 1).
Преобразования с главной строкой, указанные выше, могут производиться, либо главная строка остается без изменения. В дальнейшем изложении рассмотрен второй вариант – без изменения главной строки.
На следующем шаге исключения главной строкой становится опять верхняя строка (под вычеркнутой), и все указанные выше преобразования повторяются.
Преобразования повторяются столько раз, пока главная строка не становится единственной в системе.
В результате матрица A – верхнетреугольного вида.
(9)

5
Обратный ход (Вектор неизвестных СЛАУ x находится в обратном порядке)
Для этого составляется матрица из вычеркнутых строк верхнетреугольного вида. Из последнего уравнения находится xn, затем неизвестные находятся в порядке x n–1
, x n–2
,⋅…, x
1
(10)
В формулах (9) и (10) k – номер шага преобразования. На обратном ходе номер шага совпадает с номером строки i. Последнее неизвестное x n
находят по формуле:
(11)
Алгоритмизация метода Гаусса:
Приведенный алгоритм полностью основан на формулах (9), (10). При алгоритмизации верхний индекс k, отвечающий за шаг преобразования, заменен отдельным циклом по той же переменной k. Шаги алгоритма 1–8 соответствуют прямому ходу. Шаги 9–15 – обратному ходу.

6
Итерационные методы решения СЛАУ
При большом числе неизвестных линейной системы метод Гауссаи его модификации, дающие точное решение, становятся сложными.
В этих условиях для получения решения можно использовать итерационные методы. Решение в этих методах получается как предел последовательных приближений к решению x
(0)
, x
(1)
, …, x
(k)
→ x т
Здесь x т
– точное решение системы; x
(0)
, x
(1)
, … – вектора решений, полученные на 0, 1, …, k-й итерациях.
Для реализации итерационных методов необходимо:
1. Начальное приближение x
(0)
2.
Итерационная формула, определяющая последовательное приближение через предыдущее, x
(k)
= ϕ (x
(k–1)
).
3. Точность и условие проверки на точность |x
(k)
– x
(k–1)
|≤ ε.
Считается, что решение найдено, если выполняется условие 3 и доказана сходимость последовательности векторов x
(0)
, x
(1)
, …, x
(k)

7
Метод простых итераций (Якоби)
Реализация итерационного метода:
{
−7????
1
− ????
2
+ 2????
3
+ 2????
4
= −24;
3????
1
− 20????
2
− 8????
4
= −47;
−9????
1
+ ????
2
+ 18????
3
− 6????
4
= 28;
−????
1
− ????
3
− 6????
4
= −50;
(12)
Приведем к виду (из первого уравнений СЛАУ неизвестное выразим x
1
, из второго – x
2
, из последнего n-го уравнения – x n
):
{
????
1
= 3,42 − (0,14????
2
− 0,29????
3
− 0,29????
4
);
????
2
= 2,35 − (−0,15????
1
+ 0,4????
4
);
????
3
= 1,55 − (−0,5????
1
+ 0,05????
2
− 0,33????
4
);
????
4
= 8,33 − (0,17????
1
+ 0,17????
3
);
(13)
Вычислим первую итерацию, подставляя нулевые начальные условия в правые части уравнений. Затем полученные в левой части корни вновь подставим в правые части и таким образом вычислим первые 4 итерации:
Таблица 1 – расчет нескольких итераций
k
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
0
0 0
0 0
1
3.4 2.3 1.5 8.3
2
5.9
-0.4 5.9 7.5
3
7.3 0.2 7.0 6.3
4
7.2 0.9 7.3 5.9
Ответ:
{
????
1
= 7,2
????
2
= 0,9
????
3
= 7,3
????
4
= 5,9
(14)
Сходимость метода простых итераций определяется теоремой.

8
Теорема Для того, чтобы метод простых итераций сходился при любом начальном значении вектора ????
0
̅̅̅ , достаточно, чтобы какая-нибудь норма матрицы α была меньше единицы.
(15)
(16)
Формулы (16) определяют условия сходимости метода Якоби. Означают они диагональное преобладание элементов матрицы системы, т.е. диагональный элемент каждой строки системы по модулю больше, чем сумма остальных элементов в строке, также взятых по модулю.

9 1. Из заданной системы выделяют уравнения, модули коэффициентов которых больше суммы модулей остальных коэффициентов в этих уравнениях.
2. Каждое из выделенных уравнений записывается в такую строку новой системы, чтобы этот максимальный элемент стал диагональным.
3. Из оставшихся и выделенных уравнений системы составляются линейно независимые между собой линейные комбинации уравнений так, чтобы выполнялся принцип 2, были заполнены все свободные строки новой системы и были использованы все уравнения исходной системы.
Алгоритмизация метода Якоби
Шаг 1.
Задание точности вычисления корней ε, начального приближения ????
0
̅̅̅.
Счетчик числа итераций k = 0.
Вспомогательная переменная m = 1.
Шаг 2.
Цикл m > ε.
Шаг 3.
Цикл i = 1, …, n.
Шаг 4. m = 0.
S = 0 (переменная для накопления суммы).
Шаг 5.
Цикл j = 1, …, n.
S = S + A
i,j
⋅ x j,k для i ≠ j.
Конец цикла j.
Шаг 6. x
j,k+1
= (b i
– S)/A
i,i для i ≠ j.
Конец цикла j.
Шаг 7.
Если |b – a| > m, то m = |b – a|.
Конец цикла i.

10
Шаг 8. k = k + 1.
Конец цикла m.
Шаг 9.
Печать результатов: корни системы ????̅̅̅̅, число итераций k.
Метод Зейделя
Реализация итерационного метода:
{
−7????
1
− ????
2
+ 2????
3
+ 2????
4
= −24;
3????
1
− 20????
2
− 8????
4
= −47;
−9????
1
+ ????
2
+ 18????
3
− 6????
4
= 28;
−????
1
− ????
3
− 6????
4
= −50;
(17)
Приведем к виду (из первого уравнений СЛАУ неизвестное выразим x
1
, из второго – x
2
, из последнего n-го уравнения – x n
):
{
????
1
= 3,42 − (0,14????
2
− 0,29????
3
− 0,29????
4
);
????
2
= 2,35 − (−0,15????
1
+ 0,4????
4
);
????
3
= 1,55 − (−0,5????
1
+ 0,05????
2
− 0,33????
4
);
????
4
= 8,33 − (0,17????
1
+ 0,17????
3
);
(18)
Вычислим первую итерацию, подставляя нулевые начальные условия в правые части уравнений. Затем полученные в левой части корни вновь подставим в правые части и таким образом вычислим первые 4 итерации:
Таблица 1 – расчет нескольких итераций
k
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
0
0 0
0 0
1
3.4 2.3 1.5 8.3
2
5.9
-0.1 7,3 6,1
3
6,9 1
6,9 5,9
4
6,99 0.99 6,99 6,002

11
Ответ:
{
????
1
= 7
????
2
= 1
????
3
= 7
????
4
= 6
(19)
(19)

12
Оценка погрешности
Прямые методы
Метод
Аналитическое значение значение программы
Абсолютная погрешность
Количество итераций
Метод Гаусса
x
0
= -2 x
1
= 3 x
2
= -3 x
3
= -2 x
0
= -2 x
1
= 3 x
2
= -3 x
3
= -2
|x
0
- x
0
Pas
|= 0
|x
1
- x
1
Pas
|= 0
|x
2
- x
2
Pas
|= 0
|x
3
- x
3
Pas
|= 0
-
Итерационные методы
МПИ
x
0
= 7 x
1
= 1 x
2
= 7 x
3
= 6 x
0
= 7.0004 x
1
= 0.9999 x
2
= 7.0005 x
3
= 5.9998
|x
0
- x
0
Pas
|=0.0004
|x
1
- x
1
Pas
|= 0.0001
|x
2
- x
2
Pas
|= 0.0005
|x
3
- x
3
Pas
|= 0.0002 10
Метод Зейделя
x
0
= 7.0003 x
1
= 1.0004 x
2
= 6.9999 x
3
= 5.9999
|x
0
- x
0
Pas
|=0.0007
|x
1
- x
1
Pas
|=0.0006
|x
2
- x
2
Pas
|=0.0001
|x
3
- x
3
Pas
|=0.0001 7
Метод
Релаксации
ω
=0.5
x
0
= 7.0003 x
1
= 0.9997 x
2
= 7.0014 x
3
= 5.9991
|x
0
- x
0
Pas
|= 0.0007
|x
1
- x
1
Pas
|=0.0003
|x
2
- x
2
Pas
|=0.0086
|x
3
- x
3
Pas
|= 0.0009 10
ω
=1.5
x
0
= 7.0004 x
1
= 0.9999 x
2
= 7.0004 x
3
= 5.9997
|x
0
- x
0
Pas
|= 0.0006
|x
1
- x
1
Pas
|=0.0001
|x
2
- x
2
Pas
|=0.0006
|x
3
- x
3
Pas
|= 0.0003 13
Вывод:
Решили СЛАУ прямым и итерационным методом. Из итерационных методов наибольшая скорость сходимости у метода Зейделя, затем МПИ и нижних релаксаций (подвид метода Зейделя). Наименьшая абсолютная погрешность наблюдается при решении СЛАУ методом Зейделя.

13
Метод Гаусса
Метод Якоби
Метод Зейделя
Нижняя релаксация (0.5)

14
Верхняя релаксация (1.5)
Список используемой литературы
1. Теория и реализация задач вычислительной математики в пакете MathСad
: учебное пособие / сост. А.И.Кочегуров, Е.А. Кочегурова; Томский политехнический университет.
–
Томск:
Изд-во
Томского политехнического университета, 2013. – 135 с.