Файл: Лекция 9 по теме Интеграл Фурье П. 1 Формула Фурье Пусть функция, т е. для нее существует, не является периодической. Рассмотрим периодическую функцию, для которой.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2024
Просмотров: 129
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
ДИУ-лекция 9 по теме «Интеграл Фурье»П.1 Формула ФурьеПусть функция , т.е. для нее существует , не является периодической. Рассмотрим периодическую функцию , для которой .Предположим, что функция раскладывается в ряд Фурье: (1)где .Подставляя коэффициенты в (1) и преобразуя полученное выражение, получим Обозначение . ТогдаЗаметим, что величина ограничена по :и ее . Второе выражение является интегральной суммой для несобственного интеграла . Если он сходится, то справедлива интегральная формула Фурье , (2)а ее правая часть называется интегралом Фурье.Внутренний несобственный интеграл в (2) понимается в смысле главного значения.Если функция четная, то формула (2) примет вид:Тогда интегральная формула Фурье для четных функций имеет вид: (3)Аналогично, для нечетных функций имеет место представление: (4)Преобразуем интеграл Фурье (2) в иную форму:
Тогда , (5)где (6) Правую часть равенства (5) также называют интегралом Фурье. Для четных функций формулы (6) принимают вид (7)Для нечетных : (8)Отметим некоторые свойства функций :1. Если , то - непрерывные функции на полуосиДокажем непрерывность . Интеграл сходится для любой функции , причем сходимость по равномерная. Пусть любая точка полуоси .ТогдаОценим второй интеграл с учетом неравенства :Объединяя две оценки, получимДоказательство непрерывности аналогичное. 2.
Первый интеграл оценивается:Второй интеграл оценивается с помощью леммы Римана:Объединяя обе оценки, получимПример. Представить функцию в виде интеграла Фурье по косинусам и синусам.Воспользуемся формулой (7) и (8): , Проинтегрируем оба интеграла по частям:Аналогично,Находим и разложенияПример. Представить функцию интегралом Фурье, продолжив ее как четную функцию на отрицательную полуось.Воспользуемся формулой (7):Полагая в этой формуле , получим . П. Поточечная сходимость интеграла Фурье.Теорема (о по точечной сходимости)Пусть удовлетворяет условиям:1. кусочно- гладкая на каждом конечном числовой оси;2. в каждой точке разрыва функции существуют ;3. в каждой точке разрыва производной существуют односторонние производные4.Тогда , гдеП. Комплексная форма интеграла ФурьеПусть функция
Тогда , (5)где (6) Правую часть равенства (5) также называют интегралом Фурье. Для четных функций формулы (6) принимают вид (7)Для нечетных : (8)Отметим некоторые свойства функций :1. Если , то - непрерывные функции на полуосиДокажем непрерывность . Интеграл сходится для любой функции , причем сходимость по равномерная. Пусть любая точка полуоси .ТогдаОценим второй интеграл с учетом неравенства :Объединяя две оценки, получимДоказательство непрерывности аналогичное. 2.
Первый интеграл оценивается:Второй интеграл оценивается с помощью леммы Римана:Объединяя обе оценки, получимПример. Представить функцию в виде интеграла Фурье по косинусам и синусам.Воспользуемся формулой (7) и (8): , Проинтегрируем оба интеграла по частям:Аналогично,Находим и разложенияПример. Представить функцию интегралом Фурье, продолжив ее как четную функцию на отрицательную полуось.Воспользуемся формулой (7):Полагая в этой формуле , получим . П. Поточечная сходимость интеграла Фурье.Теорема (о по точечной сходимости)Пусть удовлетворяет условиям:1. кусочно- гладкая на каждом конечном числовой оси;2. в каждой точке разрыва функции существуют ;3. в каждой точке разрыва производной существуют односторонние производные4.Тогда , гдеП. Комплексная форма интеграла ФурьеПусть функция
удовлетворяет условиям теоремы о поточечной сходимости. Тогда для любой точки
справедлива формула Фурье:
В силу четности функции
имеем
.
В силу нечетности функции
.
Тогда
Если
, интеграл Фурье примет форму
(9)
которая называется комплексной формой интеграла Фурье
Пример. Представить интегралом Фурье функцию
Решение
Тогда