Задача 1
Малое предприятие имеет два цеха – А и В. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех А свой план выполняет с вероятностью 0,5. Вероятность выполнения плана цехом В при условии, что цех А выполнит свой план, равна 0,4. Известно также, что с вероятностью 0,1 может сложиться ситуация, когда ни один из цехов свой план не выполнит.

Если оба цеха выполнят свои планы в предстоящий месяц, то предприятие увеличит свой счёт в банке на 5 единиц; если оба не выполнят- снимет со счёта 4 единицы; если цех А выполнит, а цех В не выполнит – увеличит счёт только на 2 единицы; если же цех А не выполнит, а цех В выполнит - сократит свой счёт на 1 единицу.

Требуется:

1. 
   определить вероятность выполнения плана цехом В;
   
2. 
   выяснить, зависит ли выполнение плана цехом А от того, выполнит или не выполнит свой план цех В;
   
3. 
   найти вероятность того, что предприятию придётся снимать деньги со счёта в банке;
   
4. 
   определить, на сколько и в какую сторону (увеличения - уменьшения) изменится в среднем счёт предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счёта в банке).
   

Решение:
Указанные в задаче события полезно представить графически с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

О
чевидно, что события попарно несовместны и образуют полную группу. Кроме того, видно, что справедливы равенства



Правые части этих равенств представляют собой суммы опять-таки несовместных событий.

С учётом изложенного выше на поставленные в задаче вопросы можно ответить следующим образом:

1. 
   по условию, Р(А)=0,5;
   

=0,1

2. 
   Тогда из Р(АВ)=0,1 и ,4 0,25 следует, что . Это значит, что события А и В являются зависимыми.
   

---

3. 
   Предприятию придется снимать деньги в банке при условии, что оба банка не выполнят план , и вероятность этого события равна либо цех А не выполнит план, а цех В – выполнит, вероятность этого события равна
   

Тогда вероятность снятия денег со счета равна

4. 
   Определим, на сколько и в какую сторону (увеличения - уменьшения) изменится в среднем счёт предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счёта в банке).
   

5-4+2-1=2 ед. – по результатам работы предприятие получит на счет дополнительно 2 единицы.
Задача 2

Оптовая база заключает договоры с магазинами на снабжение товарами. Известно, что от каждого магазина заявка на обслуживание на очередной день может поступить на базу с вероятностью 0,4, причём независимо от других магазинов.

Требуется:

1. 
   определить минимальное количество магазинов ( ), с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее от них поступала хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день;
   
2. 
   при найденном в пункте 1) значении определить:
   
   1. 
      наиболее вероятное число заявок ( ) на обслуживание на очередной день и вероятность поступления такого количества заявок;
      
   2. 
      вероятность поступления не менее заявок;
      
   3. 
      математическое ожидание и дисперсию числа заявок на обслуживание на очередной день.
      

Решение:

Анализ условия задачи позволяет сделать вывод о том, что в основу её решения можно положить формулу Бернулли



при

1. 
   Минимальный объём серии испытаний, при котором вероятность наступления события А хотя бы один раз будет не меньше 0,95, определим из условия с помощью неравенства
   

---

при

Получим:



Отсюда

2. 
   Случайная величина Х- число наступлений события А в серии из 6 испытаний, является дискретной с возможными значениями 0; 1; 2;…; , вероятности которых вычисляются по формуле
   

Записанная формула выражает закон распределения вероятностей случайной величины Х. Как известно, этот закон называют биномиальным.

3. 
   Вероятность того, что в данной серии испытаний событие А наступит хотя бы один раз, определим по формуле
   

Получим:

4. 
   Для определения вероятности того, что событие А наступит не менее 5 раз, воспользуемся формулой
   

Вычислим вероятности, стоящие в этом равенстве справа:



В итоге

5. 
   Наиболее вероятное значение случайной величины Х найдем из условия . В нашем случае при и оно принимает вид .
   

Отсюда Тогда

6. 
   Для случайной величины Х , распределённой по биномиальному закону с параметрами и её математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам
   

---

При и это даёт и


Задача 3
В автосалоне ежедневно выставляются на продажу автомобили двух марок – А и В. В течение дня продаётся Х машин марки А и Y машин марки В, причём независимо от того, сколько их было продано в предыдущие дни. Машина марки А стоит 5 ед., машина марки В – 7 ед.

Закон распределения вероятностей системы (Х,Y) задан таблицей

	0	1	2
0	0,08	0,07	0,02
1	0,05	0,37	0,22
2	0,04	0,10	0,05

Требуется:

1. 
   определить, какая марка машин пользуется в автосалоне наибольшим спросом;
   
2. 
   выяснить, зависит ли число проданных автомашин марки А от числа проданных автомашин марки В;
   
3. 
   найти ожидаемую (среднюю) дневную выручку автосалона;
   
4. 
   оценить (с помощью дисперсии) возможные отклонения дневной выручки относительно среднего значения.
   

Пояснение: считать, что если P(X >Y) > P(Y >X), то машины марки А пользуются большим спросом, чем машины марки В.

1. 
   Определим, какие марки автомобилей пользуются наибольшим спросом:
   

P(X >Y)=0,05+0,04+0,10=0,19

P(Y >X)=0,07+0,22+0,02=0,31

Условие P(X >Y) > P(Y >X) не выполняется, значит, машины марки В пользуются большим спросом, чем машины марки А.

2. 
   Найдём частные распределения вероятностей системы (Х,Y). Возможные значения случайных величин Х и Y прямо указаны в таблице 1, а вероятности этих значений легко вычисляются по формулам
   

---

В итоге получаем ряд распределения случайной величины Х:

и ряд распределения случайной величины Y:


Используя полученные данные, определяем числовые характеристики случайных величин Х и Y:

3. 
   Для выяснения вопроса о том, зависимы или нет случайные величины Х и Y, поступим следующим образом. Последовательно, ориентируясь на клетки таблицы 1, вычислим соответствующие произведения и сравним их с вероятностями , стоящими в этих клетках: если встретится клетка, для которой , то сделаем вывод о том , что случайные величины Х и Y являются зависимыми; если же равенство выполняется для всех клеток табл.1, то последует вывод о независимости случайных величин Х и Y.
   

---

Смотрите также файлы

• Доклад Чудеса Света.docx

• 175орта мектеп.docx

• Сравнение ФГОС.docx

• азастан Республикасыны Білім жне ылым министрлігі орта мектебі кмм.doc

• Рекомендации к подготовке реферата Реферат.docx