Файл: П17-1.doc

Отметим, что ряд (7.49) быстро сходится. Например, для максимального прогиба в центре квадратной пластины (a = b) уже при четырех членов ряда получаем точное значение:

Далее рассмотрим действие нагрузки равномерно распределенной по площадке прямоугольника со сторонами c и d (рис. 7.17). Обозначим координаты центра грузового участка по х и у соответственно a и b.

Определим:

(7.50)

Например, если выражение q_nm приобретает вид:

Для выполнения практических расчетов, подставляя формулы по определению q_nm в (7.46) определяется A_nm. Далее по (7.49) определяются прогибы пластины, а по (7.32)и (7.33) усилия возникающие в поперечных сечениях конструкции.

В заключении рассмотрим расчет пластины при действии сосредоточенной силы величиной Р в точке (рис. 7.18).

В данном случае, для получения решения следует в (7.50) устремить c и d к нулю, сохраняя конечное значение Подставляяи перейдя к пределу, получим:

Если принимать то прогиб пластины определяется по формуле:

(7.51)

где индексы n, m являются четными числами.

Для квадратной пластины из последней формулы получим:

(7.52)

Удержав первые четыре члена последнего ряда, т.е. n =1,3 и

m =1,3 находим: что на 3% отличается от точного решения:

7.8. Расчет сферической оболочки вращения при действии осесимметричной нагрузки

Для расчета применим безмоментную мембранную теорию тонких оболочек. При этом будем предполагать, что оболочка имеет плавно изменяющуюся непрерывную поверхность. Постоянная нагрузка интенсивностью q приложена на наружную поверхность оболочки.

Геометрия оболочки вращения (рис.7.19) характеризуется следующими величинами: R - радиус основной оболочки; r(t) - радиус горизонтального сечения оболочки на расстоянии z от ее вершины; R₁ - радиус кривизны оболочки по меридианному направлению; R₂ - радиус кривизны дуги ab длиной ds₂.

Как это следует из рис. 7.20, а, имеем:

(7.53)

где j - угол между радиусом R₂ и осью z.

Обозначая меридианное и окружное погонное усилия соответственно dN_i(i = 1, 2), действующих на отрезок ds₂ и ds₁, можем записать:

(7.54)

где N₁и N₂- соответственно погонные меридианное и окружное нормальное усилия.

Составляя сумму проекций всех усилий, действующих на выделенный малый элемент (рис. 7.20, а) по направлению ее нормали n получим:

(7.55)

С учетом соотношения (7.53) и (7.54) из (7.55), получим:

(7.56)

Для определения второго необходимого уравнения, проведем горизонтальное сечение оболочки вращения радиусом r (рис. 7.20, б) и спроектируем все силы, действующие на верхнюю отсеченную часть, на вертикальную ось z:

(7.57)

Здесь F - площадь поверхности выделенной части оболочки.

Подставляя (7.57) в (7.56), определим:

(7.58)

Пример расчета сферической оболочки вращения (задача № 21)

Определить эпюры усилия N₁ и N₂ для сферического купола (рис. 7.21, а) при действии вертикальной равномерно распределенной нагрузки по ее поверхности интенсивностью q, принимая радиус сферы равный R (рис. 7.21, б).

Решение.

Учитывая, что для сферы определим площадь поверхности отсеченной горизонтальной плоскостиn-n части купола: