Файл: П17-1.doc

Для круглой пластины радиусом R, постоянной толщины h, модуль упругости материалов E, коэффициент Пуассона m, защемленной по контуру (рис.7.8, а) при действии сосредоточенной силы в центре величиной Р требуется определить эпюры изгибающих моментов, прогиб и наибольшие напряжения.

Решение.

Из условия равновесия выделенного элемента из центральной части пластины с произвольным радиусом r получим:

Подставляя выражение Q в (7.10) определим:

В центре пластины при r = 0 имеем n = 0. С учетом получимс₂ = 0.

Произвольная постоянная с₄ определяется из граничного условия закрепления плиты, т.е. . Отсюда следует, что с₁ = 0. Следовательно,

Согласно (7.5) выражения изгибающих моментов приобретают форму:

Эпюра построенная по этим формулам, представлена ни рис. 7.8. б, откуда следует, что в центре пластины как и поперечная сила, так и изгибающие моменты обращаются в бесконечность. Однако учитывая, что в реальности сосредоточенная сила не существует можно предположить, что отмеченные особенности являются условным, т.е. при реальном характере нагружения поперечная сила и изгибающие моменты принимают лишь экстремальные значения.

Для определения прогибов, интегрируя последнее выражение n получим:

С учетом , получим:

В центре, т.е. при r = 0 получим:

7.5. Изгиб с прямоугольным очертанием по контуру тонкостенной пластины

Рассмотрим изгиб пластины толщиной h, шириной а, длиной b в декартовой системе координат от действия распределенной нагрузки q (рис. 7.9) при различных контурных условий закрепления.

На рис. 7.10 представлен выделенный элемент пластины и показаны положительные направления внутренних усилий Q_x, Q_y, M_x, M_y, M_xy, M_yx.

Составляя сумму всех сил действующих на выделенный элемент по направлению вертикальной оси z, получим:

откуда

(7.26)

Далее составляя условия в форме суммы моментов относительно координатных осей x и y соответственно, получим:

Пренебрегая малыми величинами более высокого порядка и имея в виду, что последнее выражение преобразуется в форме:

(7.27)

Внося выражения Q_x и Q_y в (7.26), получим:

(7.28)

В основу теории расчета тонких пластин легли следующие основополагающие гипотезы.

1. Нормали к серединой плоскости пластины (с-е) в процессе деформирования конструкции остаются прямыми перпендикулярными к изогнутой серединной поверхности (рис.7.11).

Рассматриваемая гипотеза является по существу обобщающей гипотезой плоских сечений принятой в теории изгиба балок.

2. Длина линейных размеров плиты по оси z остается неизменной, т.е.

3. Взаимное продавливание между продольными слоями пластины отсутствует, т.е.

4. Перемещения u, v точек принадлежащих к серединной плоскости по координатным осям x и y по сравнению с прогибом w малы, поэтому ими пренебрегают:

Данное предположение с учетом первой гипотезы позволяет записать:

(7.29)

С учетом (7.29) линейные и угловые деформации определяются:

(7.30)

Обобщенный закон Гука, в данном случае с учетом (7.30) записывается в следующем виде:

(7.31)

Далее принимая во внимание (7.31) и (7.27) последовательно определим выражения моментов M_x, M_y, M_xy и поперечных сил Q_x, Q_y:

(7.32)

(7.33)

где - линейный дифференциальный оператор Лапласа.

Подставляя (7.33) в (7.26) и после ряда преобразований окончательно получим:

(7.34)

Это и есть известное дифференциальное уравнение изогнутой серединной поверхности пластины, полученные Софи Жермен в 1811 году. Оно является неоднородным бигармоническим уравнением.

7.6.Примеры расчетов тонкостенной пластины (задача № 20)

Определить функции прогибов рассматриваемых пластинок.

7.6.1.Цилиндрический изгиб тонкостенной пластины

Пусть прямоугольная пластинка, имеющая размер а по оси х, существенно меньше размера b по оси у, и подвергается действию нагрузки (рис. 7.12).

Если характер закрепления краев пластинки по оси у одинаков, то его серединная плоскость в результате изгиба будет искривляться по цилиндрической поверхности. При этом В дан-

ном случае уравнение (7.34) преобразуется и приобретает вид:

(7.35)

Очевидно, что решение задачи в данном случае существенно упрощается. Например, для пластинок характер закрепления которых изображен на рис. 7.13, для случаев а) и б) соответственно имеем:

(7.36)

7.6.2. Эллиптическая пластинка защемленная по краям при действии равномерно распределенной нагрузки

Для эллиптической пластинки, защемленной по контуру (где должны выполняться условия ), загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностьюq (рис. 7.14, а), решение уравнения (7.34) можно представить в форме:

(7.37)

Подставляя (7.38) в уравнение (7.34), и принимая x = y = 0, определим выражение произвольной постоянной с:

Для случая круглой пластинки (рис. 7.14, б) b = a из (7.37), получим:

Имея выражение w, далее можно определить все усилия.

7.6.3.Шарнирно опертая по краям прямоугольная пластинка при действии синусоидальной нагрузки

Пусть прямоугольная пластинка (рис. 7.15) шарнирно опертая по краям, подвергается действию нагрузки

(7.39)

Обеспечивая граничные условия закрепления пластины,

при

решение (7.34) можно представить в следующем виде:

(7.40)

Подставляя (7.40) в исходное уравнение (7.34), определим:

(7.41)

7.7. Расчет прямоугольных пластин с шарнирно опертым контуром при действии произвольной поперечной нагрузки

Рассмотрим прямоугольную шарнирно опертую по контуру пластину, нагруженную произвольной поперечной нагрузкой q(х,у) (рис. 7.16).

Учитывая, что функция прогиба пластины должна удовлетворять дифференцированному уравнению (7.34) и граничным условиям на краях (7.19), т.е.

при

(7.42)

Поскольку точное аналитическое решение уравнения (7.34) определить невозможно, поэтому чаще всего функция прогибов находится в виде бесконечного ряда. Для пластины с шарнирно опертым контуром решение уравнения (7.34), удовлетворяющее граничным условиям задачи (7.42), записывается в виде:

(7.43)

где A_nm - коэффициенты ряда, являющиеся постоянными величинами; n, m - целые положительные числа, соответствующие номеру членов ряда и характеризующие число полуволн синусоиды в разложении (7.43).

Для определения коэффициентов A_nmразложим функцию нагрузки q(х,у) в двойной тригонометрический ряд по синусам:

(7.44)

Коэффициенты этого ряда q_nm определяются по теории рядов Фурье:

(7.45)

Подставляя выражения (7.43) и (7.44) в уравнение (7.34), и после ряда преобразований находим:

(7.46)

Обобщенное выражение для прогибов пластины опертой по контуру при произвольном характере нагружения q(х,у), с учетом (7.46) из (7.43) принимает вид:

(7.47)

Рассмотрим различные случаи нагружения пластины. При действии по всей поверхности пластины равномерно распределенной нагрузки q = const из (7.45), сначала определим: