Файл: Лекция 17+1.doc

;

;

;

;

.

Рис.17.18

Рис.17.19

Для построения второго столбца зададим единичное смещение в узле 1 по направлению 2 (рис.17.19). Для данной задачи существует известное табличное решение, на основании которого путем рассмотрения равновесия вырезанных из элемента узлов (рис.9.19) определяются элементы второго столбца матрицы жесткости элемента:

;

;

;

;

.

Рис.17.20

Теперь зададим единичное смещение узла 2 по направлению 1 (рис.17.20) и построим третий столбец матрицы жесткости элемента. В этом состоянии элемент будет испытывать продольное растяжение. Повторяя рассуждения аналогичные сделанным при построении первого столбца матрицы жесткости, получим:

;

;

;

;

.

Рис.17.21

Для построения четвертого столбца матрицы жесткости зададим единичное смещение узла 2 по направлению 2 (рис.17.21):

---

;

;

;

;

.

И наконец, для построения пятого столбца матрицы жесткости зададим единичное смещение узла 2 по направлению 3 (рис.17.22):

;

;

;

;

.

Рис.17.22

Итак, матрица жесткости рассматриваемого элемента принимает вид:

.

Как и следовало ожидать, построенная матрица оказалась симметричной, а элементы, стоящие на ее главной диагонали, оказались положительными. Проверка выполнения этих условий - одно из средств контроля правильности построения матрицы жесткости.

Рассмотрим теперь Г-образный элемент (рис.17.23). Будем считать, что жесткости обоих стержней элемента равны. Ограничимся построением для него только пятого столбца матрицы жесткости, предоставив построение остальных столбцов читателю.

Рис.17.23

В данном элементе два жестких узла, следовательно, элемент имеет шесть степеней свободы, а матрица жесткости элемента имеет следующую блочную структуру:

.

Элементы интересующего нас пятого столбца матрицы жесткости представляют собой усилия, действующие на узлы элемента при единичном смещении узла 2 по направлению 2. Для их определения нужно найти опорные реакции в стержневой системе, полученной при наложении связей по направлению всех степеней свободы элемента (рис.17.24), при единичном смещении ее верхней опоры по направлению 2.

---

Рис.17.24

Данная задача три раза статически неопределима n_ст=6+3∙0-3-0=3 и один раз кинематически неопределимаn_кин=1+0, следовательно, для ее решения выгоднее использовать метод перемещений. При этом, как обычно в методе перемещений, будем пренебрегать продольными деформациями стержней по сравнению с их изгибными деформациями.

Основную систему метода перемещений образуем введением в жесткий узел связи, препятствующей его повороту. Потребовав, чтобы при повороте этого узла на величину ZреакцияRво введенной связи равнялась нулю, получим задачу эквивалентную исходной (рис.17.25).

Рис.17.25

Далее построим основное и вспомогательное состояния основной системы (рис.17.26). Из равновесия узла (рис.9.26) находим реакции во введенной связи в основном и вспомогательном состояниях:,. Из уравнения, выражающего условие отсутствия реакции во введенной связи в эквивалентной задаче, находим:.

Рис.17.26

Найдя лишнее неизвестное, можем построить окончательную эпюру моментов (рис.17.27), пользуясь формулой . По построенной эпюре моментов путем вырезания узлов легко определить действующие в стержнях продольные и поперечные силы, а по ним и реакции в опорах (рис.17.27). Таким образом, по реакциям в опорах определяются элементы искомого столбца матрицы жесткости:

;

;

;

---

;

;

.

Рис.17.27

Важно иметь в виду, что продольные деформации в стержнях при определении этих значений не учитывались, поэтому использование построенной подобным образом матрицы жесткости элемента в расчетах будет приводить к погрешностям в решении. В элементах, представляющих собой один стержень (рис.17.4), учет продольных деформаций проблем не вызывает. Поэтому использование в конечно-элементной схеме только таких элементов позволит получить точное решение задачи, если не учитывать погрешностей округления.

---

9.5. Формирование и решение системы уравнений мкэ. Определение внутренних усилий в элементах

Обозначим -внешнее усилие, приложенное к узлуmи действующее по направлениюi. Введем для каждого изnузлов конечно-элементной схемы вектор внешних узловых усилий, приложенных к узлуm. Если узелm- жесткий, то, если шарнирный, то.

Рассмотрим равновесие любого свободного узла (т.е. такого узла, на перемещения которого не наложены связи) конечно-элементной сетки. Пусть это будет узел под номером 2 конечно-элементной сетки, изображенной на рис.17.28. Будем считать пока, что все узлы этой сетки свободны, т.е. на узлы не наложено связей. Об учете связей речь пойдет далее.

На узел действует внешняя узловая нагрузка, характеризующаяся вектором , передаваемая на элементы, которые соединяются в этом узле. Пусть это будут три элемента под номерами 1, 2 и 3 (рис.9.28).

Рис.17.28

Усилия, передаваемые на элементев узле 2, в соответствии с введенным ранее обозначением образуют вектор. Соответственно,со стороны элементовна узел передаются равные, но противоположно направленные усилия. Т.е.со стороны элементаена узел действует система усилий, образующих вектор -. Узел элемента должен находиться в равновесии под действием внешних усилий и усилий, приложенных к узлу со стороны элементов. Следовательно, можно записать:

. (17.8)

Следует помнить, что данное равенство - матричное равенство и соответствует системе равенств, каждое из которых представляет собой уравнение равновесия усилий, действующих на узел по одному из направлений. Так как узел 2 - жесткий, это равенство принимает следующий вид (рис.17.29):

---