Файл: П4.doc

1.16. Невыгоднейшее загружение линии влияния. Критический груз

Рассмотрим движение связанной системы сосредоточенных сил, характеризующих собой давление колес поезда по заданной и, в общем случае, полигональной линии влияния (рис. 1.35). Если для каждого из последовательных положений поезда, определяе-мых координатой x, вычислять значение усилия S, то можно построить график зависимостиS= S (x), представляющий собой полигональ­ную линию, изломы которой соответствуют нахождению одного из грузов над одной из вершин линии влияния.

Очевидно, что при некотором значении x= x_oэтот график может иметь максимумS_max , определяющий наибольшее возмож­ное значение искомого усилия. Ясно, что приx¹ x_oбудет иметь место неравенствоS (x) <S_max .

Для полигональной линии влияния и при сосредоточенных си­лах, эта ситуация реализуется только в том случае, если одна из системы подвижных сил располагается над одной из вершин линии влияния. Этот груз, располагающийся над вершиной линии влия­ния и доставляющий усилию Sнаибольшее возможное значение, принято называть критическим, а соответствующее расположение поезда-невыгоднейшим загружением линии влияния.

Если известно невыгоднейшее загружение линии влияния, то вычисление максимально возможного усилия сводится к формуле:

.

На практике часто встречается случай треугольной линии влия­ния (рис. 1.36). Расположим поезд таким образом, чтобы один иç грузов находился над вершиной линии влияния. Пусть груз Р_i

кри­тический, тогда:

, (1.27)

ãäå è-равнодействующие сил, действующих слева и справа отP_i соответственно.

При сдвиге поезда влево или вправо на расстояние Dx¹0 при­ращение усилия:

DS=S-S_max < 0.

Отсюда имеем:

-при сдвиге поезда влево

; (1.28)

-при сдвиге поезда вправо

, (1.29)

ãäå .

Учитывая, что è, ïîëó­÷èì:

-при сдвиге поезда влево

; (1.30)

-при сдвиге поезда вправо

. (1.31)

Таким образом, если для какого-либо грузаP_iосуществляется одновременное удовлетворение двух неравенств (1.30) и (1.31), то по определению этот грузявляетсякритическим.

В практических задачах приходится иметь дело со строго опре­деленными типами подвижных нагрузок -поездами. Для каждого заданного поезда значениеS_maxбудет определяться лишь положе­нием вершины линии влияния и ее длиной.Для каждого типа поезда вычисляютS_maxпри различных длинах линии влияния с различными положениями вершины треугольника и вводят услов­ную равномерно распределенную нагрузкуq_ýêâ , для которой

S_max=q_ýêâ w, (1.32)

эквивалентная равномерно распределенная нагрузка при классе Ê= 1 и езде по прямолинейному поясу фермы (см. табл. 1.2, при­чемl-длина линии влияния, м;-положение вершины ли­нии влияния; a-проекция наименьшего расстояния до конца линии влияния, м),w-площадь линии влияния под грузом q_экв.

Таблица 1.2

Эквивалентные нагрузки q_ýêâ , кН/м, пути при классе Ê = 1

1.17. Расчет плоской фермы (задача ¹ 5)

Для металлической феpмы c pазмеpами и yзловыми нагpyзками, полyченными пyтем замены cобcтвенного веcа, pавномеpно pаcпpе­деленного по вcей длине q= 100 кН/м, высота фермы H = d= 2 м, нагрузка на крюке тележкиQ= 500 кН; движение тележки пред­полагается по нижнему поясу фермы (pиc. 1.37), требуется:

1. Определить аналитически ycилия U₄, V₄, D₅в элементах феpмы (рис. 1.37,â,ã);

2. Построить линии влияния ycилий в тех же элементах, опре­делив числовые значения их ординат;

3. Вычислить суммарные (расчетные) усилия в элементах фер­мы от постоянной нагрузки qи временной нагрузкиP_Q ;

4. Загрузить одну линию влияния (по выбору) постоянной на­грузкой q, определить усилие и сравнить его с полученным в ана­литическом расчете по п.1.

Решение

1. Определение аналитически ycилия u4, v4, d5 в элементах феpмы

Учитывая симметрию фермы и постоянное по ее длине значе­ние постоянной нагрузки q, имеем:

P= q d= 100.2 = 200 êÍ;

êÍ.

Давление колес на ось двухосной тележки будет равно:

125 êÍ.

Для вычисления усилий в элементах фермы U₄, V₄, D₅пред­варительно подсчитаем геометрическиепараметрыфермы.

Длина раскоса ì.

Синус угла наклона раскоса:

Для вычисления усилия в нижнем поясе U₄(ðèñ. 1.37,â) соста­вим уравнение равновесия моментов относительно точкиm, ò.å.:

,

откуда

êÍ.

Для вычисления усилия в стойке V₄составим уравнение(ðèñ. 1.37,â):

,

откуда

êÍ.

Для вычисления усилия в раскосе D₅ составим уравнение(ðèñ. 1.37,ã):

,

откуда

êÍ.

2. Построение линии влияния ycилий u4, v4, d5 в элементах феpмы

Для построения линии влияния усилия в поясе U₄расположим единичный грузP= 1 справа от сечения 1-1 (ðèñ.1.38,à).

Составив уравнение (ðèñ. 1.38,á), получим значение ординаты правой прямой линии влиянияU₄(ðèñ. 1.37,å). В нашем случае:

,

откуда

.

Левую прямую линии влияния U₄получим, используя извест­ное положение о том, что левая и правая прямые линии влияния в элементе пояса пересекаются под моментной точкойm(ðèñ. 1.38,å).

Для вычисления ординат линии влияния в стойке V₄поочеред­но будем ставить грузP= 1:

-справа от сечения 1-1 (ðèñ. 1.37,á), составив уравнениеèëè

R_A-V₄= 0; V₄=R_A= 1;

-слева от сечения 1-1 (ðèñ. 1.37,ã), составив уравнениеèëè

R_A+V₄= 0; V₄=-R_A=-1.

Отметив эти ординаты, получим правую и левую прямые линии влияния V₄(ðèñ. 1.38,è). Между положительной и отрицательной ветвями линии влияния надо провести, так называемую передаточ­ную прямую. Она пройдет между узламиcèkнижнего пояса (рис. 1.38,è).

Для построения линии влияния усилия в раскосе D₅восполь­зуемся сечением 2-2 (ðèñ. 1.38,à).