Файл: М.А. Тынкевич Принятие решений в условия неопределенности (теория игр и статистических решений).pdf

6

спроса S = (0,10,20,30,40,50).

Если решающее правило сформулировать как "доход - издержки", то

Если для приведенного примера предыдущий опыт позволит задать вектор P = (0.01, 0.09, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1), то математические ожидания прибыли при разных выборах:

W1 =-121× 0.01 + 62× 0.09 + 245× 0.2 + 245× 0.3 + 245× 0.3 + 245× 0.1 = 224.87,

W2 = 305.22, W3 = 330.675, W4 = 301.12

и выбор максимального из этих значений обнаруживает оптимальность варианта 40 станков с ожидаемой прибылью 330.675 тыс.руб.

2.2.1. Критерий Лапласа

В основе этого критерия лежит "принцип недостаточного основа-

ния": если нет достаточных оснований считать, что вероятности того или иного спроса имеют неравномерное распределение, то они принимаются одинаковыми и задача сводится к поиску варианта, дающего

W1 = (-121 + 62 + 245 + 245 + 245 + 245) / 6 = 153.5 ,

W2 = 197.25 , W3 =210.5 , W4 = 193.5

и выбор максимального значения обнаруживает оптимальность выбора

7

варианта 40 станков с ожидаемой прибылью 210.5 тыс.руб.

2.2.2. Критерий Вальда

Критерий Вальда обеспечивает выбор осторожной, пессимистической стратегии в той или иной деятельности и его суждения близки к тем суждениям, которые используют в теории игр для поиска седловой точ-

ки в пространстве чистых стратегий: для каждого решения Xi выбира-

ется самая худшая ситуация (наименьшее из Wij) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект :

W = max min Wi j

i= 1..m j= 1..n

В нашем примере W = max(-121, -168.75, -216.5, -264.25) = -121, т.е.

по этому критерию следует закупить 20 станков и максимальный возможный убыток не превысит 121 тыс.руб.

2.2.3. Критерий Гурвица

Ориентация на самый худший исход является своеобразной перестраховкой. Однако опрометчиво выбирать политику, которая излишне оптимистична. Критерий Гурвица предлагает некоторый компро-

где параметр α принимает значение от 0 до 1 и выступает как коэффициент

При α =0.5 (равновероятных шансах на успех и неудачу) следует закупить 50 станков и ожидать прибыль порядка 193.25 тыс. руб.

При вероятности успеха 0.2 не следует закупать более 20 станков с надеждой, что убытки не превысят 47 тыс.руб.

2.2.4. Критерий Сэвиджа

Суть этого критерия заключается в нахождении минимального риска. При выборе решения по этому критерию сначала матрице функции полезности (эффективности) сопоставляется матрица сожалений

элементы которой отражают убытки от ошибочного действия, т.е. выгоду, упущенную в результате принятия i-го решения в j-м состоянии.

8

Затем по матрице D выбирается решение по пессимистическому критерию Вальда, дающее наименьшее значение максимального сожаления.

Для нашего примера отыскиваем матрицу D, вычитая (-121) из первого столбца матрицы полезности, 62 из второго и т. д.

Наибольшее значение среди минимальных элементов строк здесь равно max[-405.75, -270.5, -135.25, -143.25]=-135.25 и, покупая 40 станков,

мы уверены, что в худшем случае убытки не превысят 135.25 тыс.руб. Таким образом, различные критерии приводят к различным выводам: 1) по критерию Лапласа приобретать 40 станков,

2)по критерию Вальда - 20 станков,

3)по критерию Гурвица - 20 при пессимистическом настроении и 50 в состоянии полного оптимизма,

4)по критерию Сэвиджа - 40 станков.

Возможность выбора критерия дает свободу лицам, принимающим

экономические решения, при условии, что они располагают достаточными средствами для постановки подобной задачи. Всякий критерий должен согласовываться с намерениями решающего задачу и соответствовать его характеру, знаниям и убеждениям.

2.3. Контрольные задания

2.3.1. Требования

Выберите вариант контрольного задания. Определите вектор состояний внешней среды и вектор решений. Постройте функцию полезности и выполните решение задачи, используя предложенные выше критерии. Оцените полученное оптимальное решение с позиций здравого смысла.

2.3.2. Варианты заданий

1. Фирма может за небольшую плату (100 руб.) составить любому студенту программу для каких-то типовых расчетов на ПЭВМ. Каждый сотрудник фирмы может качественно выполнить до 10 заказов. Cтоимость аренды машинного времени составляет 800 руб. в месяц (этого времени достаточно для выполнения 10 работ). Количество студентов, пользующихся услугами фирмы, не превышает 100 человек в месяц. Определить число сотрудников фирмы, дающее максимум общего дохода (для регистрации фирмы необходима численность не менее двух человек).

2. Землевладелец на знойном юге решает вопрос о числе рабочих,

9

привлекаемых к уборке томатов. Урожайность колеблется в зависимости от погоды от 500 до 600 центнеров, закупочная цена стабильна и равна 5 руб/кг. Рабочий за сезон собирает 20 центнеров, получая 1.2 руб/кг за уборку и 280 руб. для оплаты стоимости проезда к месту работ. Затраты на обеспечение рабочих жильем (речь не идет даже о трехзвездочной гостинице) составляют 300 руб. и не зависят от численности.

3.В сельхозрайоне с посевной площадью 1430 га решено построить элеватор по одному из типовых проектов на 20, 30, 40, 50 или 60 тыс. центнеров зерна. Привязка проекта обойдется в 37 тыс.руб. Cтоимость материалов и оборудования для элеватора мощности 20 тыс. равна 60 тыс.руб. и растет на 10% с ростом мощности на 10 тыс. Затраты на эксплуатацию элеватора на 20 тыс. равны 10 тыс. руб. и растут на 10 тыс. c ростом мощности на 10 тыс. За хранение зерна на счет элеватора вносится плата 10 руб. за центнер. Урожайность колеблется от 14 до 20 ц/га.

4.Председатель сельхозкооператива решает закупить бочки для засолки огурцов. Виды на урожай колеблются от 700 до 1000 кг, в бочку вмещается 50 кг, цена бочки - 300 руб., затраты на засолку - 20 руб. за бочку, аренда места на рынке - 50 руб, реализационная цена - 7.20 руб/кг.

5*. Универмаг, работающий по 10 часов в сутки, ежедневно посещают от 7 до 10 тыс. чел. Cтоимость покупок одного посетителя в среднем - 50 руб. Время обслуживания - 1 мин. на покупателя. Затраты на оборудование одного рабочего места - 2400 руб., зарплата продавца - 1400 руб. в месяц. Найти число рабочих мест при планировании работы на год (300 рабочих дней), если покупатель не намерен стоять в очереди из более 7 чел.

6.Фирма, действующая в живописном Горном Алтае, планирует десятидневные маршруты для туристов в летнем сезоне (60 дней). Известно, что число туристов в течение десятидневки колеблется от 1 до 1.5 тыс. чел. Группы комплектуются из 25 чел. Стоимость путевки – 2 тыс.руб. Заработная плата инструктора составляет 6 тыс.руб. в месяц. На экипировку

группы затрачивается 1.5 тыс.руб., на питание группы – 12 тыс.руб. К тому же приходится оплачивать ремонт помещений и снаряжения при подготовке к сезону 30 тыс.руб. Сколько же инструкторов разумно пригласить на работу ?

7. В транспортном цехе ежедневно выходит из строя до 8 агрегатов, каждый из которых мог бы дать продукции на 350 руб. Слесарьремонтник, получающий 2500 руб. в месяц, не может в день обслужить более двух станков. Сколько же слесарей должен привлечь на работу начальник транспортного цеха ?

8. В городе N решено открыть яхт-клуб (под громким названием скрывается скромная лодочная станция). Предполагаемое число членов клуба колеблется от 100 до 250 чел. Годовой абонемент стоит 1000 руб. Аренда причала, помещений для хранения яхт и стимулирование ускоренного получения лицензии обойдутся в 20 тыс.руб. Владельцу абонемента,