Файл: М.А. Тынкевич Лабораторный практикум по курсу Численные методы анализа.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.06.2024

Просмотров: 205

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

М.А.Тынкевич

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

по курсу

“ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА”

для студентов специальности «Прикладная информатика в экономике»

Утверждено на заседании кафедры вычислительной техники и информационных технологий Протокол № 2 от 27. 09 . 2001 Рекомендовано к печати учебно-методической комиссией по специальности 351400 Протокол № 1 от 27. 09 . 2001

Кемерово 2001

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

1

Лабораторная работа 1 Действия над приближенными величинами

Задание 1. Запишите порядок выполняемых вами операций, оцените погрешности их результатов, вычислите и запишите искомое значение.

Задание 2. Выясните погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с m верными значащими цифрами.

Пример.

1. F=(a2+b3)/Cos(t) , a=28.3 ± 0.02, b=7.45 ± 0.01, t=0.7854 ± 0.0001

Абсолютные погрешности исходных данных:

∆a=0.02 , ∆b=0.01, ∆t=0.0001.

Относительные погрешности исходных данных:

δa=0.02 / 28.3=0.00071, δb=0.01 / 7.45= 0.00135, δt=0.0001/ 0.7854=0.00013.

Находим оценки с учетом, что

δ(xy)~δ(x/y)<δx+δy, ∆(x±y)<∆x+∆y, δ(x±y)<max(δx,δy) и ∆f(x)~f’(x) ∆x:

a2

=800.9

{ δ a2=2 δa=0.00142 ;

∆a2 =809.9 0.00142=1.15006 } ;

b3

=413.5

{ δ b3=3 δb=0.00405;

∆b3=413.5 0.00405=1.67468 };

a2+ b3=1214.4 { ∆ (a2+b3)= ∆a2+∆b3=2.82474;

δ (a2+b3)= 2.82474/1214.4=0.00233};

Cos(t)=0.7071 {∆ (Cos(t))= (Cos(t))′∆t=Sin(t) ∆t ~0.00007 ;

δ (Cos(t))=d/dt(lnCos(t)) ∆t=Sin(t)/Cos(t) ∆t ~0.0001 };

F=(a2+b3)/Cos(t) = 1214.4 / 0.7071 =

1717.44 ,

δF~0.00233+0.0001~0.0024(~0.24%); ∆F~ 1717.44 0.0024~4.12.

Воспользуемся универсальными оценками для функции u(X) нескольких переменных:

∂F ∂a

∆u = ∑

∂u

∆x i ,

δu = ∑

∂

ln( u)

∆x i

∂x i

i

i

∂xi

= 2a

=80.05;

∂F

= 3b

2

=235.48;

∂F

= −

a 2 +b3

sin( t ) =1717.4;

cos( t )

∂b

cos( t )

∂t

cos 2 t

∆F =

∂F

∆a +

∂F

∆b +

∂F

∆t =4.1275; δF=∆F /F =0.0024 (~0.25 %).

∂a

∂b

∂t

Так как ∆F =4 < 0.5 10n-m+1 (m - число верных знаков, n=3 – поря-

док числа 1717.4 ) = 0.5 103-m+1 =0.5 104-m =5 103-m при m≤3, то m=3

(к такому же выводу можно прийти непосредственно из значения δF) и F=172 101 (общая погрешность=погрешности исходных данных

2

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

(∆F) + погрешность округления (|1717.44-1720| )= 4+3=7).

2. F=(a2+b3) / Cos(t) , a~28.3 , b~7.45 , t~0.7854 , m=5.

Находим a2 =800.9, b3 =413.5, Cos(t)=0.7071, a2+ b3=800.9+ 413.5 =1214.4, F=(a2+b3)/Cos(t) =1214.4 / 0.7071 =1717.4 (полагаем все эти

5 цифр верными).

Относительная погрешность δF=10-(m-1)/(2a1)=10-4/(2×1) =0.00005,

абсолютная погрешность ∆F=F× δF=1714.4× 0.00005=0.008572.

Для использования принципа равных влияний

∆x

=

xi

∆ F

i

x ∂ F

∑

i ∂ x

i

i

находим a×(dF/da)=2a2/cos(t)=1601.9 / 0.7071=2265.45, b×(dF/db)=2b3/cos(t)= 827.0 / 0.7071=1169. 57,

t×(dF/dt)=t×(a2+b3)/cos2(t)×sin(t)=0.7071×1214.4/ 0.7071=1214.4,

знаменатель ~2265.45+1169.57+1214.4=4649.4 ;

отсюда допустимая погрешность исходных параметров равна:

∆a=28.3 × 0.008572 / 4649.4=0.00005 ; ∆b=7.45 × 0.008572 / 4649.4= 0.00001; ∆t=0.7071×0.008572/4649.4= 0.000001.

Варианты заданий

№

F(a,b,c)

a

b

c

m

1

1

ab

( a +b ) sin( 3c )

2456

0.00078

0.008

3 c

±0.0005

±0.00003

±0.00013

2

a+b

0.02456

0.007823

0.8348

5

a−b arcsin( c )

2

1

3

0.2456

0.20078

0.008

[( a+b )c

]

ln( 1 + c )

±0.0005

±0.00003

±0.00013

a−b

2

c3

( a −b )7 cos( ac )

0.02456

0.007823

0.8348

5

13

3

1

ab

( a3 +b )sin2( c )

0.12456

0. 0078

0.008

3 c

±0.0005

±0.00003

±0.00013

2

a+b

0.02456

0.007823

0.8348

4

a−b arctg( c )

4

1

( a+b )c

3

2

)

0.2456

0.20078

0.008

a−b

2

ln( 1 +c

±0.0005

±0.00003

±0.00013

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

3

2

c2

( a −b )3 cos( ac2 )

0.02456

0.007823

0.8348

5

13

5

1

ab

( a +b )2 Sin( c )

0.12456

0.078

0.2468

3 c

±0.0005

±0.0003

±0.00013

2

a+b2

arccos( c )

0.02456

0.007823

0.835

4

a−b

6

1

2

0.2456

0.20078

0.008

[( aa+−bb)c ]

ln( 1 +c )

±0.0005

±0.00003

±0.00013

2

c3

3

2

0.02456

0.007823

0.8348

5

( a −b )

cos( a

c )

13

7

1

a2b

( 1 +b )Sin( 2c )

2456

0.00078

0.008

3 c

±0.0005

±0.00003

±0.00013

2

a+b

ln( 1 + ac )

0.02456

0.007823

0.8348

4

a−b

8

1

[( a+b )c

]

ln 2 ( 1 +c )

0.2456

0.20078

0.008

a−b

±0.0005

±0.00003

±0.00013

2

c3

7

0.02456

0.007823

0.8348

4

( a −b )

cos( ac )

13

9

1

ab

( a +b )Sin( c )

0.12456

0. 0078

0.008

3 1+c

±0.0005

±0.00003

±0.00013

2

a+b

arctg( ac )

0.02456

0.007823

0.8348

4

a−b

10

1

( a+b2 )c

2

ln( 1 + ac2 )

0.2556

0.50078

0. 8

a−b

2

±0.0005

±0.00003

±0.013

2

c2

( a −b )cos( 1 + ac

2

)

0.02456

0.007823

0.8348

4

13

11

1

ab

2

( a −b )Sin( cb )

0.2456

0.0078

8

3 c

±0.0005

±0.00003

±1.23

2

( a+b )2

arcsin( ac )

0.02456

0.007823

0.8348

4

a−b

12

1

a+b

( a

2

+b )ln( 3 +c )

0.12456

0.12078

0.08

3 a−b

±0.0005

±0.00003

±0.015

2

a+b

0.02456

0.01823

0.0348

5

a−b arccos( c )

13

1

ab

2

Sin( cb ) +cb

0.2456

0.078

8

3 c

±0.0005

±0.003

±1.25

2

c( a+b )2

+ arcsin( ac )

0.02456

0.007823

0.8348

4

a−b

14

1

a+b

0.12456

0.12078

2.08

3 a−b a

ln( a +c )

±0.0005

±0.00003

±0.015

4

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

2

a+b

−arccos( a +c )

0.02456

0.01823

0.0348

5

a−b

15

1

a+b

( a

−b ) ln( a +c )

0.12456

0.12078

2.08

( ab )2

±0.0005

±0.00003

±0.015

2

a+b

( 1

+c +

c4

)lg( c )

0.02456

0.01823

0. 348

5

a−b

4!

16

1

a+b2

a ln( a +c )

0.1245

0.120

2.08

3 a−b

±0.0005

±0.0003

±0.015

2

a +

a+b

lg( ac )

0.02456

0.01823

3.0148

4

a−b

17

1

2

0.12456

0.12078

2.08

3 a−b a ln( 2a +c )

±0.0005

±0.00003

±0.015

2

a+b

0.2456

0.1823

0.0348

5

a−b2 −arcsin( a +c )

18

1

a+b

0.12456

0.12078

2.08

a−b a ln(πc )

±0.0005

±0.00003

±0.015

2

a+b

0.02456

0.01823

0.0348

5

a−b lg(arccos( a +c ))

19

1

a+b

( a

2

−b )

ln( a +c )

0.12456

0.12078

2.08

( ab )2

±0.0005

±0.00003

±0.015

2

a+b

( 1

+ a +

c4

)lg( c )

0.02456

0.01823

0. 348

5

a−b

4!

20

1

a+b

0.12456

0.12078

2.08

( a−b )2 | sin(ln( a +c )) |

±0.0005

±0.00003

±0.015

2

a+c

( 1

+c )lg( bc )

0.02456

0.01823

2. 348

4

a−b

21

1

a2 +b

ln

2

( a +c )

0.12456

0.12078

2.08

( ab )2

±0.0005

±0.00003

±0.015

2

a2 +b

( 1

+bc )lg( c )

0.02456

0.01823

0. 348

3

a−b

22

1

a3 −b2

ln( a +c )

0.22456

0.12078

2.08

( ab )2

±0.0005

±0.00003

±0.015

2

a+b2

( 1

+c )lg( c )

0.02456

0.01823

0. 348

3

a−b

23

1

a2 −b2

arctg(ln( a +c ))

0.12456

0.12078

2.08

( ab )2

±0.0005

±0.00003

±0.015

2

a+b

0.12456

0.01823

2. 08

4

a−b arctg(ln( a +c ))

24

1

a4 −b4

ln(sin( a +c ))

0.12456

0.12078

2.08

( ab )2

±0.0005

±0.00003

±0.015

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

5

2

a+b

0.02456

0.01823

0. 348

5

a−b ln(sin( a +c ))

25

1

ln( a+b )

( a −b ) ln( ac )

0.12456

0.12078

2.08

( ab )2

±0.0005

±0.00003

±0.015

2

ln( a+b )

( 1 +c )ln( ac )

0.12456

0.11823

2. 08

5

a−b

P.S. Если трансцендентные функции (sin, ln и т.п.) вычисляются с помощью библиотек компьютерных сред (Pascal, Delphi, MatLab и пр.) или калькулятора, погрешностью метода можно пренебречь (но не погрешностью исходных данных или округления).

Лабораторная работа 2

Пределы последовательностей и степенные ряды

Задание 1. Найдите оценки пределов последовательностей {an},{bn}, если они существуют, с точностью ε.=10-2 и соответствующие порядковые номера N(ε). Изобразите графически характер поведения этих последовательностей. Найдите аналитическим путем истинное значение предела и порядок сходимости.

Задание 2. Выберите любую из приведенных последовательностей c нулевым пределом и найдите сумму соответствующего ряда при n=1,2,... с точностью ε.=10-4 (или покажите, что ряд расходится) .

Варианты заданий

№

an

bn

№

an

bn

1

3n /( 3 +

1

)n

(-1)n (1-

14

1 sin( 1 )

1n

nn +1

n

cos(1/n))

n

n

2

2

)

n

2

+1)

15

( 2π )n n!

2

+1/n)

arctg(n

(-1) n/(n

( 2n )!

arctg(n

1

n

n

2 n

1

3

1 /( 1 +

n

)

( −1 ) ( n − n −1)

16

1 /( 1 + n )

3 n6 +2

6 n 2 + 5

n

1/n

1

1

cos(

1

(

−1 )

n

)

4

(-1)

(1-2 )

17

n ln(πn )

n 3 +1

n

n

5

arctg(n2+1)

( −1 )n+1

18

( −1 )n+1e−2n2

1

( 2n−1 )

2

( 2n−1 )( 2n−1 )!

1

−ln n+2

n

1

( −1 )n+1 5n

6

1

sin

(−1)n

19

∑

−ln( n )

n+1

n

n

n+1

k =1

k

n!

Смотрите также файлы