Файл: М.А. Тынкевич Лабораторный практикум по курсу Численные методы анализа.pdf

Скачать файл (0,34Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.06.2024

Просмотров: 63

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

М.А.Тынкевич

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

по курсу

“ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА”

для студентов специальности «Прикладная информатика в экономике»

Утверждено на заседании кафедры вычислительной техники и информационных технологий Протокол № 2 от 27. 09 . 2001 Рекомендовано к печати учебно-методической комиссией по специальности 351400 Протокол № 1 от 27. 09 . 2001

Кемерово 2001

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

Лабораторная работа 1 Действия над приближенными величинами

Задание 1. Запишите порядок выполняемых вами операций, оцените погрешности их результатов, вычислите и запишите искомое значение.

Задание 2. Выясните погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с m верными значащими цифрами.

Пример.

1. F=(a2+b3)/Cos(t) , a=28.3 ± 0.02, b=7.45 ± 0.01, t=0.7854 ± 0.0001

Абсолютные погрешности исходных данных:

∆a=0.02 , ∆b=0.01, ∆t=0.0001.

Относительные погрешности исходных данных:

δa=0.02 / 28.3=0.00071, δb=0.01 / 7.45= 0.00135, δt=0.0001/ 0.7854=0.00013.

Находим оценки с учетом, что

δ(xy)~δ(x/y)<δx+δy, ∆(x±y)<∆x+∆y, δ(x±y)<max(δx,δy) и ∆f(x)~f’(x) ∆x:

a2	=800.9	{ δ a2=2 δa=0.00142 ;	∆a2 =809.9 0.00142=1.15006 } ;
b3	=413.5	{ δ b3=3 δb=0.00405;	∆b3=413.5 0.00405=1.67468 };
a2+ b3=1214.4 { ∆ (a2+b3)= ∆a2+∆b3=2.82474;
		δ (a2+b3)= 2.82474/1214.4=0.00233};
Cos(t)=0.7071 {∆ (Cos(t))= (Cos(t))′∆t=Sin(t) ∆t ~0.00007 ;
		δ (Cos(t))=d/dt(lnCos(t)) ∆t=Sin(t)/Cos(t) ∆t ~0.0001 };
F=(a2+b3)/Cos(t) = 1214.4 / 0.7071 =			1717.44 ,

δF~0.00233+0.0001~0.0024(~0.24%); ∆F~ 1717.44 0.0024~4.12.

Воспользуемся универсальными оценками для функции u(X) нескольких переменных:

∂F ∂a

∆u = ∑

∂u

∆x i ,

δu = ∑

∂

ln( u)

∆x i

∂x i

∂xi

= 2a

=80.05;

∂F

= 3b

=235.48;

∂F

= −

a 2 +b3

sin( t ) =1717.4;

cos( t )

∂b

cos( t )

∂t

cos 2 t

∆F =

∂F

∆a +

∂F

∆b +

∂F

∆t =4.1275; δF=∆F /F =0.0024 (~0.25 %).

∂a

∂b

∂t

Так как ∆F =4 < 0.5 10n-m+1 (m - число верных знаков, n=3 – поря-

док числа 1717.4 ) = 0.5 103-m+1 =0.5 104-m =5 103-m при m≤3, то m=3

(к такому же выводу можно прийти непосредственно из значения δF) и F=172 101 (общая погрешность=погрешности исходных данных

2	Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

(∆F) + погрешность округления (|1717.44-1720| )= 4+3=7).

2. F=(a2+b3) / Cos(t) , a~28.3 , b~7.45 , t~0.7854 , m=5.

Находим a2 =800.9, b3 =413.5, Cos(t)=0.7071, a2+ b3=800.9+ 413.5 =1214.4, F=(a2+b3)/Cos(t) =1214.4 / 0.7071 =1717.4 (полагаем все эти

5 цифр верными).

Относительная погрешность δF=10-(m-1)/(2a1)=10-4/(2×1) =0.00005,

абсолютная погрешность ∆F=F× δF=1714.4× 0.00005=0.008572.

Для использования принципа равных влияний

∆x	=		xi		∆ F
			xi		∆ F

i				x ∂ F
		∑		x ∂ F
					i ∂ x
		i			i
		i			i

находим a×(dF/da)=2a2/cos(t)=1601.9 / 0.7071=2265.45, b×(dF/db)=2b3/cos(t)= 827.0 / 0.7071=1169. 57,

t×(dF/dt)=t×(a2+b3)/cos2(t)×sin(t)=0.7071×1214.4/ 0.7071=1214.4,

знаменатель ~2265.45+1169.57+1214.4=4649.4 ;

отсюда допустимая погрешность исходных параметров равна:

∆a=28.3 × 0.008572 / 4649.4=0.00005 ; ∆b=7.45 × 0.008572 / 4649.4= 0.00001; ∆t=0.7071×0.008572/4649.4= 0.000001.

Варианты заданий

№		F(a,b,c)											a	b	c	m
1	1		ab			( a +b ) sin( 3c )							2456	0.00078	0.008
1	1					( a +b ) sin( 3c )							2456	0.00078	0.008
			3 c										±0.0005	±0.00003	±0.00013
	2		a+b										0.02456	0.007823	0.8348	5
			a−b arcsin( c )
2	1						3						0.2456	0.20078	0.008
		[( a+b )c						]	ln( 1 + c )				±0.0005	±0.00003	±0.00013
				a−b				]	ln( 1 + c )				±0.0005	±0.00003	±0.00013
	2		c3		( a −b )7 cos( ac )								0.02456	0.007823	0.8348	5
		13
3	1		ab			( a3 +b )sin2( c )							0.12456	0. 0078	0.008
3	1					( a3 +b )sin2( c )							0.12456	0. 0078	0.008
			3 c										±0.0005	±0.00003	±0.00013
	2		a+b										0.02456	0.007823	0.8348	4
	2		a−b arctg( c )										0.02456	0.007823	0.8348	4
4	1	( a+b )c								3	2	)	0.2456	0.20078	0.008
					a−b		2			ln( 1 +c		)	±0.0005	±0.00003	±0.00013
					a−b

Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

	2		c2	( a −b )3 cos( ac2 )														0.02456	0.007823	0.8348	5
		13		( a −b )3 cos( ac2 )
		13
5	1		ab			( a +b )2 Sin( c )												0.12456	0.078	0.2468
5	1		3 c			( a +b )2 Sin( c )												0.12456	0.078	0.2468
			3 c															±0.0005	±0.0003	±0.00013
	2		a+b2					arccos( c )										0.02456	0.007823	0.835	4
			a−b					arccos( c )
			a−b
6	1										2							0.2456	0.20078	0.008
		[( aa+−bb)c ]										ln( 1 +c )						±0.0005	±0.00003	±0.00013
	2		c3									3		2				0.02456	0.007823	0.8348	5
				( a −b )									cos( a		c )
			13	( a −b )									cos( a		c )
7	1		a2b		( 1 +b )Sin( 2c )													2456	0.00078	0.008
			3 c		( 1 +b )Sin( 2c )													±0.0005	±0.00003	±0.00013
			3 c															±0.0005	±0.00003	±0.00013
	2		a+b			ln( 1 + ac )												0.02456	0.007823	0.8348	4
	2		a−b			ln( 1 + ac )												0.02456	0.007823	0.8348	4
8	1	[( a+b )c								]		ln 2 ( 1 +c )						0.2456	0.20078	0.008
			a−b															±0.0005	±0.00003	±0.00013
	2		c3									7						0.02456	0.007823	0.8348	4
				( a −b )									cos( ac )
			13	( a −b )									cos( ac )
9	1		ab				( a +b )Sin( c )											0.12456	0. 0078	0.008
9	1		3 1+c															0.12456	0. 0078	0.008
			3 1+c															±0.0005	±0.00003	±0.00013
	2		a+b			arctg( ac )												0.02456	0.007823	0.8348	4
	2		a−b			arctg( ac )												0.02456	0.007823	0.8348	4
10	1		( a+b2 )c									2	ln( 1 + ac2 )					0.2556	0.50078	0. 8
				a−b					2				ln( 1 + ac2 )					±0.0005	±0.00003	±0.013
				a−b
	2		c2	( a −b )cos( 1 + ac												2	)	0.02456	0.007823	0.8348	4
		13		( a −b )cos( 1 + ac													)
		13
11	1		ab	2		( a −b )Sin( cb )												0.2456	0.0078	8
			3 c			( a −b )Sin( cb )												±0.0005	±0.00003	±1.23
			3 c															±0.0005	±0.00003	±1.23
	2		( a+b )2							arcsin( ac )								0.02456	0.007823	0.8348	4
			a−b							arcsin( ac )
			a−b
12	1		a+b					( a			2	+b )ln( 3 +c )						0.12456	0.12078	0.08
			3 a−b					( a				+b )ln( 3 +c )						±0.0005	±0.00003	±0.015
	2		a+b															0.02456	0.01823	0.0348	5
	2		a−b arccos( c )															0.02456	0.01823	0.0348	5
			a−b arccos( c )
13	1		ab	2		Sin( cb ) +cb												0.2456	0.078	8
			3 c			Sin( cb ) +cb												±0.0005	±0.003	±1.25
			3 c															±0.0005	±0.003	±1.25
	2		c( a+b )2								+ arcsin( ac )							0.02456	0.007823	0.8348	4
				a−b							+ arcsin( ac )
				a−b
14	1		a+b															0.12456	0.12078	2.08
14	1		3 a−b a							ln( a +c )								0.12456	0.12078	2.08
			3 a−b a							ln( a +c )								±0.0005	±0.00003	±0.015

4		Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами

	2			a+b			−arccos( a +c )								0.02456	0.01823	0.0348	5
	2			a−b											0.02456	0.01823	0.0348	5
				a−b
15	1			a+b		( a				−b ) ln( a +c )					0.12456	0.12078	2.08
15	1			( ab )2											0.12456	0.12078	2.08
				( ab )2											±0.0005	±0.00003	±0.015
	2			a+b		( 1				+c +			c4	)lg( c )	0.02456	0.01823	0. 348	5
				a−b		( 1				+c +			4!	)lg( c )
				a−b									4!
16	1			a+b2		a ln( a +c )									0.1245	0.120	2.08
				3 a−b		a ln( a +c )									±0.0005	±0.0003	±0.015
				3 a−b											±0.0005	±0.0003	±0.015
	2	a +			a+b						lg( ac )				0.02456	0.01823	3.0148	4
	2	a +									lg( ac )				0.02456	0.01823	3.0148	4
						a−b
17	1			2											0.12456	0.12078	2.08
17	1			3 a−b a ln( 2a +c )											0.12456	0.12078	2.08
				3 a−b a ln( 2a +c )											±0.0005	±0.00003	±0.015
	2			a+b											0.2456	0.1823	0.0348	5
	2			a−b2 −arcsin( a +c )											0.2456	0.1823	0.0348	5
				a−b2 −arcsin( a +c )
18	1			a+b											0.12456	0.12078	2.08
18	1			a−b a ln(πc )											0.12456	0.12078	2.08
				a−b a ln(πc )											±0.0005	±0.00003	±0.015
	2			a+b											0.02456	0.01823	0.0348	5
	2			a−b lg(arccos( a +c ))											0.02456	0.01823	0.0348	5
				a−b lg(arccos( a +c ))
19	1			a+b		( a			2		−b )		ln( a +c )		0.12456	0.12078	2.08
19	1		( ab )2						2						0.12456	0.12078	2.08
			( ab )2												±0.0005	±0.00003	±0.015
	2			a+b		( 1				+ a +			c4	)lg( c )	0.02456	0.01823	0. 348	5
				a−b		( 1				+ a +			4!	)lg( c )
				a−b									4!
20	1			a+b											0.12456	0.12078	2.08
20	1			( a−b )2 \| sin(ln( a +c )) \|											0.12456	0.12078	2.08
				( a−b )2 \| sin(ln( a +c )) \|											±0.0005	±0.00003	±0.015
	2			a+c		( 1				+c )lg( bc )					0.02456	0.01823	2. 348	4
	2			a−b											0.02456	0.01823	2. 348	4
				a−b
21	1			a2 +b			ln				2	( a +c )			0.12456	0.12078	2.08
				( ab )2			ln					( a +c )			±0.0005	±0.00003	±0.015
				( ab )2											±0.0005	±0.00003	±0.015
	2			a2 +b		( 1				+bc )lg( c )					0.02456	0.01823	0. 348	3
				a−b		( 1				+bc )lg( c )
				a−b
22	1			a3 −b2				ln( a +c )							0.22456	0.12078	2.08
				( ab )2				ln( a +c )							±0.0005	±0.00003	±0.015
				( ab )2											±0.0005	±0.00003	±0.015
	2			a+b2		( 1				+c )lg( c )					0.02456	0.01823	0. 348	3
				a−b		( 1				+c )lg( c )
				a−b
23	1			a2 −b2				arctg(ln( a +c ))							0.12456	0.12078	2.08
				( ab )2				arctg(ln( a +c ))							±0.0005	±0.00003	±0.015
				( ab )2											±0.0005	±0.00003	±0.015
	2			a+b											0.12456	0.01823	2. 08	4
	2			a−b arctg(ln( a +c ))											0.12456	0.01823	2. 08	4
				a−b arctg(ln( a +c ))
24	1			a4 −b4			ln(sin( a +c ))								0.12456	0.12078	2.08
				( ab )2			ln(sin( a +c ))								±0.0005	±0.00003	±0.015
				( ab )2											±0.0005	±0.00003	±0.015

		Лабораторная работа 1 . Действия над приближенными величинами						5

	2		a+b		0.02456	0.01823	0. 348	5
	2		a−b ln(sin( a +c ))		0.02456	0.01823	0. 348	5
			a−b ln(sin( a +c ))
25	1		ln( a+b )	( a −b ) ln( ac )	0.12456	0.12078	2.08
			( ab )2	( a −b ) ln( ac )	±0.0005	±0.00003	±0.015
	2		ln( a+b )	( 1 +c )ln( ac )	0.12456	0.11823	2. 08	5
			a−b	( 1 +c )ln( ac )

P.S. Если трансцендентные функции (sin, ln и т.п.) вычисляются с помощью библиотек компьютерных сред (Pascal, Delphi, MatLab и пр.) или калькулятора, погрешностью метода можно пренебречь (но не погрешностью исходных данных или округления).

Лабораторная работа 2

Пределы последовательностей и степенные ряды

Задание 1. Найдите оценки пределов последовательностей {an},{bn}, если они существуют, с точностью ε.=10-2 и соответствующие порядковые номера N(ε). Изобразите графически характер поведения этих последовательностей. Найдите аналитическим путем истинное значение предела и порядок сходимости.

Задание 2. Выберите любую из приведенных последовательностей c нулевым пределом и найдите сумму соответствующего ряда при n=1,2,... с точностью ε.=10-4 (или покажите, что ряд расходится) .

Варианты заданий

№

3n /( 3 +

(-1)n (1-

1 sin( 1 )

nn +1

cos(1/n))

)

+1)

( 2π )n n!

+1/n)

arctg(n

(-1) n/(n

( 2n )!

arctg(n

2 n

1 /( 1 +

)

( −1 ) ( n − n −1)

1 /( 1 + n )

3 n6 +2

6 n 2 + 5

1/n

cos(

(

−1 )

)

(-1)

(1-2 )

n ln(πn )

n 3 +1

arctg(n2+1)

( −1 )n+1

( −1 )n+1e−2n2

( 2n−1 )

( 2n−1 )( 2n−1 )!

−ln n+2

( −1 )n+1 5n

sin

(−1)n

∑

−ln( n )

n+1

k =1

Смотрите также файлы

Л.С. Таганов Решение численных задач средствами MS Excel.pdf

И.В. Кандинская Информационные системы в экономике.pdf

Е.Е. Дадонова Решение уравнений средствами Excel.pdf

Е.Е. Дадонова Анализ функций проектирование простых таблиц средствами Excel.pdf

Е.В. Буйная Симплексный метод решения оптимизационных задач.pdf

Файл: М.А. Тынкевич Лабораторный практикум по курсу Численные методы анализа.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно