Файл: А.В. Бирюков Дифференциальная геометрия.pdf

1

1. Кривые на плоскости

Рассмотрим кривую линию на плоскости с декартовой системой координат (x;y). При движении точки A(x;y) по кривой её положение зависит от некоторого параметра u (пройденного пути, времени и т.д.). В этом случае декартовы координаты точки являются функциями этого параметра x = x(u), у = y(u), которые называются параметрическими

уравнениями кривой.

Исключая из этих уравнений параметр, получим явное уравнение кривой: y = y(x), где роль параметра играет x.

Если начало координат соединить с точкой A вектором r (радиу- сом-вектором точки), то получим векторную функцию скалярного ар-

гумента u: r = r (u), которую называют векторным уравнением кривой.

Производная от r есть вектор

ddur = dudx i + dudy j ,

направленный по касательной к кривой в данной точке.

Пусть ϕ - угол между касательной и координатной осью X. Тогда тангенс этого угла равен значению производной от x по y в точке касания.

Поскольку

dydx = xy′′dudu = xy′′,

то угол ϕ равен

ϕ= arct( xy′′).

Сравномерным движением точки по кривой касательная в этой точке совершает вращательное движение со скоростью

3

правленным в сторону вогнутости кривой. Точка на нормали в направленииn , отстоящая от точки касания на расстоянии:

R = K1 ,

называется центром кривизны, а окружность радиусом R называется соприкасающейся окружностью.

При движении точки по кривой центр кривизны описывает кривую, называемую эволютой. Сама кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

Примеры:

1. Найти кривизну окружности x = a cost, y = a sin t в произвольной

точке A(x,y). Подставляя в соответствующую формулу значения про-

изводных

x′ = −a sin t, x′′= −a cost, y′ = a cos t, y′′ = −a cost,

получим

K = 1a ,

т.е. кривизна окружности во всех ее точках постоянна и равна величине, обратной радиусу окружности.

этой точке равна 2/5√5 а радиус кривизны R = 5 5 / 2. Поскольку уг-

4

ловой коэффициент касательной в точке (1,1) равен 2, то уравнение нормали имеет вид: y=-x/2+3/2. С другой стороны, (x-1)2+(y-1)2=125/4.

Решая систему уравнений, получим координаты центра кривизны x≈-3,7; y≈3,4.

2. Кривые в трехмерном пространстве

Кривая линия в пространстве с декартовой системой координат (x,y,z) может быть задана либо параметрическими уравнениями

x = x(u), y = y(u), z = z(u),

либо векторным уравнением

r = r(u),

где u – параметр, а r - радиус-вектор точки кривой.

Для пространственной кривой дифференциал длины дуги имеет

Если параметром кривой является длина дуги S, то производная от r по S равна единичному вектору касательной:

m = ddsr , m =1.

Плоскость, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормальной плоскостью, а прямая, проходящая через точку касания и принадлежащая нормальной плоскости, называется нормалью к кривой. Очевидно, что в отличие от плоской кривой пространственная кривая имеет бесконечно много нормалей. Из них выделяют две: главную нормаль с направлением, определяемым произ-

водной от m по S, с единичным вектором n , и бинормаль с единичным вектором, равным векторному произведению m ×n .

Три взаимно перпендикулярных единичных вектора m, n, p образуют подвижную систему координат при движении точки по кривой.

кручение кривой в данной точке. Функции λ ( s ) и τ ( s ) полностью определяют пространственную кривую с точностью до перемещений.

Если кривизнаλ тождественно равна нулю, то кривая является прямой линией. Если же кручениеτ тождественно равно нулю, то кривая является плоской, то есть лежащей в одной плоскости.

Пример.

Имеется винтовая линия, заданная параметрическими уравнениями x = acost, y = a sin t, z = bt, где t –угол, описываемый подвижным ра-

диусом при движении точки по окружности x2 + y2 = a2 . Исходя из формул Френе, имеем

λ=a2 a+b2 ,τ =a2 b+b2 ,

откуда видно, что кривизна и кручение винтовой линии постоянны.

3. Поверхности в трехмерном пространстве

Параметрические уравнения поверхности в пространстве с декартовой системой координат (x,y,z) можно задать тремя функциями от двух переменных:

где u,v -параметры. x =x(u,v),y =y(u,v),z =z(u,v),

Векторное уравнение поверхности имеет вид r =r (u,v),