ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.06.2024
Просмотров: 220
Скачиваний: 0
6
Таблица 6
К |
n |
||||
10 |
15 |
20 |
30 |
60 |
|
3 |
4,8 |
3,5 |
3,0 |
2,4 |
1,8 |
4 |
5,7 |
4,0 |
3,3 |
2,6 |
2,0 |
5 |
6,3 |
4,4 |
3,5 |
2,8 |
2,0 |
6 |
6,9 |
4,7 |
3,8 |
2,9 |
2,1 |
7 |
7,4 |
5,0 |
3,9 |
3,0 |
2,2 |
8 |
7,9 |
5,2 |
4,1 |
3,1 |
2,2 |
9 |
8,3 |
5,4 |
4,2 |
3,2 |
2,3 |
10 |
8,7 |
5,6 |
4,4 |
3,3 |
2,3 |
Критерий Пиллаи
Рассмотренные критерии сравнения дисперсий предполагают нормальность выборок. Для двух произвольных выборок с объемами n1 и n2 и размахами R1 и R2 проверка нуль-гипотезы может быть проведена по критерию со статистикой
П = R1 / R2 , |
(R1>R2) |
(4.6) |
||||||
Если это отношение превосходит критическое (табл.7), то нуль- |
||||||||
гипотеза отклоняется. |
||||||||
Таблица 7 |
||||||||
n2 |
n1 |
|||||||
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
||||
6 |
2,3 |
2,4 |
2,5 |
2,6 |
2,7 |
|||
7 |
2,0 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
2,3 |
|||
8 |
1,8 |
1,9 |
2,0 |
2,1 |
2,1 |
|||
9 |
1,7 |
1,8 |
1,8 |
1,9 |
2,0 |
|||
10 |
1,6 |
1,7 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
|||
4.4. Сравнение средних |
||||||||
Критерий Лорда |
||||||||
Для двух произвольных выборок одинакового объема n со средни- |
||||||||
_ |
_ |
|||||||
ми значениями X1 и X 2 и размахами R1 и R2 проверяется нуль-гипотеза:
7
выборочные средние являются оценками одного и того же генерального среднего. Соответствующая статистика имеет вид:
_ |
_ |
(4.7) |
||||||||||||
L = 2 |
X 1− X 2 |
/(R1 + R2 ) |
||||||||||||
Если найденное значение этой статистики превосходит критическое |
||||||||||||||
(табл.8), то нуль-гипотеза отклоняется. |
Таблица 8 |
|||||||||||||
n |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||||||||
L |
1,27 |
0,83 |
0,61 |
0,50 |
0,43 |
0,37 |
||||||||
n |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
||||||||
L |
0,33 |
0,30 |
0,28 |
0,26 |
0,24 |
0,23 |
||||||||
n |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
||||||||
L |
0,22 |
0,21 |
0,20 |
0,19 |
0,18 |
0,17 |
||||||||
Критерий Диксона |
||||||||||||||
Пусть |
имеется |
К выборок одинакового |
объема n со |
средними |
||||||||||
_ |
_ |
_ |
||||||||||||
X 1 > X 2 >…> X к. Требуется установить, значимо ли отличается наи- |
||||||||||||||
_ |
_ |
_ |
||||||||||||
большее среднее от остальных. При X 1 < X 2 <…< X к аналогичный вопрос относится к наименьшему среднему. Ответы на эти вопросы дает статистика Диксона
_ _ |
_ _ |
(4.8) |
||
D = |
X 1− X 2 |
/ |
X1− X 2 |
|
Если найденное значение статистики превосходит критическое (табл.9), то экстремальное среднее значимо отличается от остальных.
Таблица 9
K |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
D |
0,94 |
0,76 |
0,64 |
0,56 |
0,51 |
4.5. Сравнение выборок
Критерий Вилкоксона
Проверяется нуль-гипотеза: две выборки объемом n1 и n2 принадлежат одной и той же генеральной совокупности.
8
Обе выборки объединяем в одну совокупность и располагаем элементы по возрастанию, помечая (например, штрихом) элементы одной из выборок. В объединенной совокупности элементы нумеруем в порядке возрастания. Номер элемента называется его рангом. Одинаковым по величине элементам присваиваем средний в их группе ранг. Далее подсчитываем суммы рангов элементов каждой выборки А1 и А2 и находим величины
u1=n1n2 +0,5(n1+1)n1-A1 , u2=n1n2+0,5(n2+1)n2-A2
Искомая статистика равна наименьшему из чисел u1 и u2, т.е.
U=min (U1, U2) |
(4.9) |
Нуль-гипотеза отклоняется, если значение (4.9) меньше критического (табл.10)
Таблица 10 |
|||||||||
n |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
u |
4 |
7 |
11 |
15 |
21 |
27 |
34 |
42 |
|
n |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
u |
51 |
61 |
72 |
83 |
96 |
109 |
123 |
138 |
|
Критерий Краскеля-Валлиса |
|||||||||
Пусть имеет К произвольных выборок объемом n1, n2,…, nк. Проверяется нуль-гипотеза: все выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.
Для проверки этой гипотезы, как и в предыдущем случае, все выборки объединяются в одну совокупность, элементы которой располагаются по возрастанию и для каждой выборки помечаются каким-либо образом. После ранжировки элементов подсчитывается сумма рангов Аi (i=1,2,…, К) для каждой выборки. Искомая статистика имеет вид:
H = |
12 |
∑к (A2 |
/ n )−3(n +1), |
(4.10) |
n(n +1) i=1 i |
i |
|||
где n=n1+n2+..+nк.
9
Нуль-гипотеза отклоняется, если значение статистики (4.10) больше критического (табл.11), зависящего от числа выборок К.
Таблица 11 |
|||||||
К-1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
Н |
6,0 |
7,8 |
9,5 |
11 |
13 |
14 |
|
К-1 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
Н |
16 |
17 |
18 |
20 |
21 |
22 |
|
К-1 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
Н |
24 |
25 |
26 |
28 |
29 |
30 |
|
К-1 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
|
Н |
31 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
|
5. Зависимость между случайными величинами |
|||||||
5.1. Коэффициент корреляции
Пусть имеются пары наблюдений за двумя случайными величинами (xi, yi), I=1,2,…,n. Коэффициент корреляции r является показателем того, насколько зависимость между Х и У близка к линейной. Соответствующая выборочная статистика имеет вид:
__ |
_ _ |
/ S S |
(5.1) |
|||
r = xy− x y |
2 |
, |
||||
1 |
||||||
__ |
_ _ |
|||||
где xy - среднее произведение ; |
x y |
- произведение средних; S1, S2 – |
||||
стандарты величин х и y. Статистика (5.1) принимает значения на отрезке r [-1;1]. При r=1 и r=-1 все точки (xi, yi) лежат на прямой линии. Корреляционная зависимость между х и у значима, если значение статистики (5.1) превосходит критическое (табл.12).