Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Контрольные задания №3, 4 и методические указания для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 1 курса (2 семестр).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.06.2024
Просмотров: 393
Скачиваний: 0
6
дём значения функции в данной критической точке и на концах интер-
вала f (6)= −45; f (0)= 9; f (8)= −28 |
1 . |
3 |
Итак, наибольшее значение функции равно 9 и достигается в точке x = 0. Наименьшее значение функции равно -45 и достигается в точке x = 6.
При решении задач № 91-120 труднее всего записать выражение оптимизируемой функции по указанным свойствам.
Пример. Закрытый бак имеет форму цилиндра. При данном объёме V каковы должны быть радиус основания и высота бака, чтобы расход материала на его изготовление был наименьшим.
Решение. Оптимизируемая функция - полная поверхность цилиндра
S = Sбок + 2Sосн = 2πrh + 2πr2 .
Это функция двух переменных r и h. Выразим одну переменную через другую, используя условие, что объём цилиндра должен остаться по-
стоянным, равным V . V = πr2h , отсюда h = πVr2 . Подставим это вы-
ражение в оптимизируемую функцию S , получим S = 2πr πVr2 + 2πr2 ,
S = 2rV + 2πr2 . Теперь функция S записана как функция одной пере-
менной r . Задача сводится к исследованию функции S(r) на экстремум
(минимум) [1, гл.6, п.7; 2, гл.7, п.2].
Так как функция определена на открытом промежутке (0, ∞), то она
может достигать наименьшего значения только в критических точках |
||
этого промежутка. Найдём производную и приравняем её к нулю |
||
S′(r)= − 2V + 4πr = |
2(2πr3 − V) |
. |
r2 |
r2 |
|
S′(r)= 0 2πr3 − V = 0 r = 3 2Vπ .
Покажем, что в этой критической точке функция S(r) достигает минимума. Найдём S′′(r):
7 |
|||||||||||||||||||||||
S′′(r)= |
( |
S′(r) |
) |
′ |
= |
− |
2V |
′ |
= |
4V |
+ 4π, |
||||||||||||
r2 |
+ 4πr |
r3 |
|||||||||||||||||||||
V |
= |
4V |
+ 4π = 12π f 0 , |
||||||||||||||||||||
S′′ 3 |
|||||||||||||||||||||||
2π |
V |
3 |
|||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||
2π |
|||||||||||||||||||||||
то есть при r = |
3 |
V |
функция S(r) |
имеет минимум. Определим высоту |
|||||||||||||||||||
2π |
V |
||||||||||||||||||||||
V |
V |
V3 |
|||||||||||||||||||||
= 23 V . |
|||||||||||||||||||||||
бака при r = 3 |
h = |
2π |
|||||||||||||||||||||
= |
|||||||||||||||||||||||
2π |
V |
2 |
π |
V |
2π |
||||||||||||||||||
π 3 |
2π |
||||||||||||||||||||||
2π |
|||||||||||||||||||||||
В задачах № 121-150 требуется провести полное исследование указанных функций и построить их графики. Эти вопросы освещены в следующей литературе [1, гл.6, п.8; 2, гл.7, п.2].
При исследовании целесообразно придерживаться следующей схемы:
1)найти область определения функции, вычислить предельные значения на её границе, найти уравнения вертикальных и наклонных асимптот, если они существуют. Найти точки пересечения графика с осями координат;
2)с помощью первой производной найти интервалы возрастания и убывания функции, её экстремумы;
3)с помощью второй производной определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.
Рекомендуется построение графика функции проводить поэтапно параллельно с исследованием по указанной схеме.
Пример. Построить график функции y = 3x3 + 3x2 .
Решение. 1. Функция определена при всех x (− ∞, ∞) и непрерыв-
на в области определения, следовательно, нет вертикальных асимптот. Найдём уравнение наклонной асимптоты y = kx +b , где
8
k = lim |
f (x) |
3 x3 |
+ 3x2 |
∞ |
= lim |
3 1 |
+ |
3 |
= 1, |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
= lim |
x |
= |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→±∞ |
) |
x→±∞ |
∞ |
x→±∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→±∞( |
f |
( |
x |
− kx |
) |
x→±∞( |
3 x3 + |
3x2 |
− x |
) |
{ |
} |
|||||||||||||||||||||||||
b = lim |
= |
lim |
= |
∞ − ∞ |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
) |
( |
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
x |
3 |
+ 3x |
2 |
x |
3 |
+ 3x |
2 |
2 |
+ x |
3 |
x |
3 |
+ 3x |
2 |
+ x |
2 |
||||||||||||||||||||
= lim |
− x 3 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x3 |
+ 3x2 )2 + x3 |
x3 + 3x2 + x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→±∞ |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
x3 + 3x |
2 − x3 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x3 |
+ 3x2 )2 + x3 x3 + 3x2 + x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→±∞ |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
3 |
= 3 |
= 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→±∞ |
3 |
2 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + |
+ 3 |
1 + |
+ |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получили уравнение наклонной асимптоты y = x +1. Функция пересекает ось ординат при y = 0 и ось абсцисс при x = −3 и x = 0.
Функция не обладает свойствами чётности, нечётности и периодичности.
2. Определим интервалы возрастания и убывания функции и её экстремумы, для чего находим первую производную
x |
3 |
+ 3x |
2 |
) |
1 |
′ |
= |
1 |
( |
x |
3 |
+ 3x |
2 |
) |
− |
2 |
( |
3x |
2 |
+ 6x |
) |
= |
x2 + 2x |
= |
|||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
y′ = |
3 |
3 (x3 + 3x2 )2 |
|||||||||||||||||||||||||
( |
3 |
||||||||||||||||||||||||||
= |
x + 2 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
( |
) |
2 |
||||||||||||||||||||||||
x x + 3 |
|||||||||||||||||||||||||||
y′ = 0 |
при x1 = −2 |
и производная не существует при x2 = −3, x3 = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
Эти критические точки разбивают область определения на интервалы |
||
(− ∞,−3); |
(− 3,−2); |
(− 2,0); (0, ∞). |
Внутри каждого интервала знак производной сохраняется. Чтобы определить знак производной на каждом интервале, выбираем в каждом из них по одной точке и вычисляем значение производной в этих точках. Например, в интервале (− ∞,−3) возьмём точку x = −4 ,
9 |
||||||||||||||||||||||||
тогда y′(− 4)= |
− 4 + 2 |
f 0 , следовательно, функция на интервале |
||||||||||||||||||||||
3 |
( |
) |
2 |
|||||||||||||||||||||
− 4 − |
1 |
|||||||||||||||||||||||
(− ∞,−3) возрастает. На интервале (− 3,−2) функция возрастает, так |
||||||||||||||||||||||||
как y′(− 2,5) |
= − 2,5 + 2 f 0. На интервале (− 2,0) функция убывает, так |
|||||||||||||||||||||||
3 |
− 2,5 |
|||||||||||||||||||||||
y′(−1)= |
−1 + 2 |
(0, ∞) функция возрастает, так |
||||||||||||||||||||||
как |
3 − 4 p 0. |
На интервале |
||||||||||||||||||||||
как |
y′(1)= 1 + 2 f 0 . |
|||||||||||||||||||||||
3 16 |
||||||||||||||||||||||||
Составим для наглядности таблицу изменения знаков производной |
||||||||||||||||||||||||
x |
(− ∞,−3) |
-3 |
(− 3,−2) |
-2 |
(− 2,0) |
0 |
(0, ∞) |
|||||||||||||||||
y′ |
+ |
не суще- |
+ |
0 |
- |
не суще- |
+ |
|||||||||||||||||
ствует |
ствует |
|||||||||||||||||||||||
y |
возрас- |
нет экст- |
возрас- |
макси- |
убыва- |
мини- |
возрас- |
|||||||||||||||||
тает |
ремума |
тает |
мум |
ет |
мум |
тает |
||||||||||||||||||
ymax (− 2)= 3 |
≈ 1,6; |
ymin (0)= 0. |
||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||
3. Определим интервалы выпуклости , вогнутости, точки перегиба |
||||||||||||||||||||||||
графика функции, для чего найдём вторую производную: |
||||||||||||||||||||||||
2 |
′ |
2 |
||||||||||||||||||||||
y′′ = |
(x + 2)(x3 + 3x2 )− |
3 = (x3 + 3x2 )−3 + |
||||||||||||||||||||||
2 |
− |
5 |
2 |
|||||||||||||||||||||
3 (3x2 |
+ 6x)= − |
, |
||||||||||||||||||||||
+ (x + 2) − |
3 |
(x3 + 3x2 ) |
||||||||||||||||||||||
3 x4 |
(x + 3)5 |
|||||||||||||||||||||||
которая не равна нулю для любого конечного x. Поэтому точками перегиба могут быть те точки, в которых y′′ не существует, то есть
x1 = −3; x2 = 0 . Определим знак второй производной в каждом из ин-
тервалов, на которые найденные критические точки разбивают область определения, и составим таблицу изменения знаков второй производной