Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Контрольные задания №3, 4 и методические указания для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 1 курса (2 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 02.06.2024

Просмотров: 399

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

15

∂z

=10xy − 7y2 + 5y,

∂z

= 20 − 28 +10 = 2;

∂x

∂x

A

∂z

= 5x2 −14xy + 5x,

∂z

= 5 − 28 + 5 = −18.

∂y

∂y

A

По определению градиента

gradz =

∂z

r

∂z

r

∂x

i +

∂y

j в данном примере

= 2 ri −18 rj .

получим gradz

A

Для нахождения производной в точке А по направлению вектора

a = −2

ri + rj

найдём направляющие косинусы вектора a = −2 ri + rj

a

2

ay

1

.

cosα =

rx

= −

5

, cosβ =

r

=

5

a

a

Согласно определению производной функции вдоль заданного направ-

ления

∂z

=

∂z

cosα +

∂z

cosβ, в нашем примере получаем

∂a

A

∂x

A

∂y

A

∂z

2

1

22

, то есть скалярное поле функции убывает в

∂a A

= 2

−

−18

= −

5

5

5

ri + j .

направлении вектора a = −2

Контрольная работа № 3

Производная и её приложения

№ 1-30. Найти дифференциалы данных функций.

1. а) y = x2 + 2x − ctg3x;

в)

y =

π

− x + 7;

2x sin x +

3

2. а)

y =

1 10

x +

;

x

в)

y =

1

+ tg3x

;

cos

π (x − 4)

2

б)

y =

4 + ln x2

;

e3x

г)

y = xsin x .

б)

y = e

2x+3

2

− x +

1

x

;

2

г)

y = xex .

16

3.а) y = sin2 x3 ctg x2 ;

в) y = e−x 2 + 4 ; ln x

4.а) y = x arctg 5x + π ;

4

в) y = 1 + sin 3x ; 1 + cosx

5.а) y = (sin x + x2 )4 ;

в) y = 34−x 2 arcsin x − 2x;

6.а) y = 4x − arcsin x ;

в) y = ln(x2 + 4)− x sin2 2x;

7.а) y = x3 arccosx − 7x;

в) y = ln(3x −1); sin 2x

8.а) y = 3 11 +− xx ;

x

в)

y = 2

ln x

+1;

9. а)

y = arcsin 4x

;

1 − 4x

в)

y =

sin2 x − ln(x + 2);

10. а)

y =

1 tg3x − ctgx + x;

3

в)

y =

arccosx

;

1 − x2

11. а)

y =

2 arctg

x + (1 − x)3

;

3

2

б) y = 2x − 3x6 − 8 ;

г) y = (cosx)x .

б) y = 3 + 2tg2 x − π4 ; г) y = (sin 3x) x .

б)

y =

cos2 3x

;

x3 −1

г)

y = (tgx)x 2 .

б)

y =

cosx2

− 3x

;

6x−1

г)

y = x2tgx .

б) y = 5x tg x

− 2;

4

г)

y = (cosx)x 2 .

б)

y = sin2 x cosx2 ;

г)

y = (arcsin x) x .

б) y = x 10 x − 7x2 ;

г) y = (1 + x2 )x .

б)

y = eax cos(bx + c);

г)

y = (1 − x)arctgx .

б)

y =

2x

;

tg2 3x

17

в)

12.а)

в)

13.а)

в)

14.а)

в)

15.а)

в)

16.а)

в)

17.а)

в)

18.а)

в)

19.а)

в)

y = sin3 x ln x − 7x ;

m

2

2

n

x −

y =

2 ln(x

− a

)+

ln a +

2a

y = (x +1)sin2 x2 ;

y = xn a−x ;

y =

x + cos3 2x

;

tg(x +1)

y = sin2 5x cos x ;

3tgx

3

y =

;

1

− x2

y = x4 (a − 2x3 )2 ;

y =

ctg3 4x

;

cosx

y = 5 arccosx + sin3 2x ;

y =

1 − 2x

;

3 + 2x

y = (9 + x3 )2 ctg x2 ;

y = e

3x

−

x

+

+

π

4

5 cos 2x

2

y = arcsin ex ;

y =

6sin x

;

ln x +

2

y = (x2 +10)7 + ln 2;

y= ln(x2 + 4x −1); x + 2

ax ;

;

г)

y =

(ctgx) x .

б)

y =

cosx

;

x3 −1

г)

y = (tgx)ex .

б)

y = arcsin

x2

− 4

+ 7x ;

4

г)

y = (x − 2)cos x .

б)

y =

4

+ arcsin

;

x

x − 2

г) y = (arctgx)x 3 .

б) y = e−ax (3sin x − x);

г) y = (arcsin x)x+3 .

б) y = 3(x2 +1)tg x3 ; г) y = (ln x)x 2 .

б) y = tg2 (x + 7); 5 + sin 2x

г) y = xln x .

б) y = tg4 (x2 +1)+ x 1 − 2x2 ;

г)

y = (cos 2x)x .

б)

y =

cos2 (3x −1);

x

г)

y =

(sin 5x)arctgx2 .

18

20.а)

в)

21.а)

в)

22.а)

в)

23.а)

в)

24.а)

в)

25.а)

в)

26.а)

в)

27.а)

в)

y = tg5x sin3 2x;

б)

y =

5 ln(x − 4x2 )

;

г)

32x − 4

y = 2e−x (3sin 3x + cos2 x);

б)

y =

arccosx3

г)

2x − x2

;

y = xn a−x 2 ;

б)

y =

1 ln

x −1

+ 4x ;

г)

x +1

6

2

x

1

+ 4);

y =

3

arctg

2

+

8 ln(x3

б)

y =

1

5x 2 +6 ctg x

;

г)

2

4

y = cos

3 x

5x +

π

б)

4

tg

;

3

y = ln(arcsin 5x);

г)

y =

1

x

+

x +1

;

б)

2

ln tg

4

2

y = 6sin x arctg x

;

г)

3

2

y =

− sin

x

б)

0,4 cos(2x +1)

;

2

y = 10x arcsin x ;

г)

y =

3 4x5 + 2

;

б)

3x4

y =

1

arcsin x − ln x + 2

;

г)

18

4

x −1

y = 1 + arcsin x ;

y = (cos(x + 2))x−1 . y = cosx ln x4 ;

y = xarctgx .

y = arcsin(1 − x); cosx + tgx

y = (x2 + 3) x .

y =

sin3

2x

;

cos2

5x

y = (arcsin x)ln x .

y =

3

1 − x5

;

sin

2x

y = (x −1)arctgx .

y =

cos3

(2x −1)

;

x4 −

7

y = (sin 2x)x 2 .

y = lnlnctgxtgx ;

1

y = (arctg(x + 3))x .

x

π

y = 73

−

cos 2x

;

4

y = (arctgx)x 2 +1 .

19

28. а) y = ctg x2 sin2 x2 ;

в) y =

10x

;

−

π

cos 3x

4

29.а) y = sin2 x 1 − ln x ;

2

в)

y = 1 + tg3x +

1

arccos x

;

2

2

30. а)

y = arctgx ;

ln5 x

x − 2

в)

y = 4x 2 −3 − x sin

;

3

б) y =

1 ln

1

− x

+

1

arctg x ;

4

1

+ x

2

г) y = (tgx2 ) x .

б) y = 1 − e2x ; cos x3

г) y = (ctgx)x−2 .

б)

y =

1

− x2

e

3x−1

x

4

+ cos

2

− 3 ;

г)

y = (tgx)ctgx .

№ 31-60. Найти

dy

и

d2y

dx

dx2

31.

y = x ex 2 ,

x = 0 .

32.

y = ln 3 1 + x2 ,

x = 1.

33.

y = x6 − 4x3 + 4,

x = 1.

34.

y = 1 − x2 − x4 ,

x = 2 .

(

)

35.

y =

x2 +

3 3 , x = 1.

36.

y = x3 ln x,

x = 1.

37.

y =

1

,

x = −1.

1 − x

38.

y = arctgx,

x = 2.

при заданном значении x.

46. y = arcsin x,

x = 1 .

4

47. y = sin ax + cosbx,

x = 0.

48. y = ln ctg4x,

x = π .

8

π .

49. y = x2 sin 2x,

x =

4

50. y = x ex 2 ,

x = −1.

51. y =

a2 − x2 ,

x = a .

1

2

52. y =

x

,

x = a .

a +

1 + x2 ),

53. y = ln(x +

x = 1.

Смотрите также файлы