Файл: И.А. Штефан Дискретизация сигналов по критерию наибольшего отклонения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2024
Просмотров: 36
Скачиваний: 0
Министерство образования Российской Федерации Государственное учреждение
Кузбасский государственный технический университет Кафедра информационных и автоматизированных производственных систем
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ ПО КРИТЕРИЮ НАИБОЛЬШЕГО ОТКЛОНЕНИЯ
Методические указания к лабораторной работе по курсу «Компьютерное управление» для студентов специальности 210200 «Автоматизация технологических процессов и производств
(в машиностроении)»
Составители И.А. Штефан В.В. Штефан
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 4 от 26.11.02
Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией специальности 210200 Протокол № 91 от 06.01.03 Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ
Кемерово 2003
1
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Цель работы - изучить метод дискретизации сигналов по критерию наибольшего отклонения и приобрести практические навыки по его использованию при выборе шага дискретизации сигналов в системах управления техническими объектами и оценке погрешности восстановления.
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
По критерию наибольшего отклонения шаг дискретизации выбирают таким образом, чтобы максимальное отклонение не превышало бы заданного отклонения.
∆x(t) = x(t) – x*(t), |
(2.1) |
где x*(t) - оценка сигнала x(t), х(t) – исходный сигнал.
При этом качество дискретизации оценивают количественным показателем качества приближения γ, определяющим максимальное число точек на интервале дискретизации ∆t, в которых разность между x(t) и полиномом наилучшего приближения Pi(t) принимает максимально допустимое значение с чередованием знака.
В работе в качестве полиномов наилучшего приближения рассматриваются интерполяционные полиномы Лагранжа
|
z(z −1)L(z − n) |
n |
i |
|
|
P (t) = (−1)n |
∑ (−1)i |
Cn x(ti ) |
, |
(2.2) |
|
|
|
||||
n |
n! |
i =0 |
z −i |
|
|
|
|
||||
где z = t −∆tt0 ; ∆t=t1 - t0=ti – t1=…=const; n = 0,1, 2, … - порядок полино-
ма Лагранжа; i = 0, n.
Между отсчетами погрешность воспроизведения исходного сигнала, дифференцируемого (n+1) раз, определяется остаточным членом:
|
Mn +1 |
|
∆t n+1 |
n |
|
|
Ln (t) ≤ |
|
∏(z −i), |
(2.3) |
|||
(n +1)! |
||||||
|
|
i =0 |
|
|||
где M n+1 - максимальное значение модуля (n+1)-й производной x(t) на отрезке аппроксимации.
2
Рассмотрим выбор шага дискретизации и остаточные члены при ступенчатой, линейной и параболической аппроксимациях.
Ступенчатая аппроксимация имеет место при n=0. Остаточный
член
L0 (t) ≤ M1∆tz |
(2.4) |
принимает максимальное значение в конце интервала дискретизации при z=1. Ступенчатая аппроксимация приведена на рис. 2.1.
x(t) |
|
x*(t)=L0(t) |
x(t) |
|
t |
Рис. 2.1. Ступенчатая аппроксимация |
|
Показатель качества приближения γ в этом случае на любом из интервалов дискретизации не превышает 1, т.е. γmax=1. Тогда шаг дискретизации ∆t выбирается из условия
∆t ≤ |
εдоп , |
(2.5) |
|
М1 |
|
где εдоп – допустимая ошибка дискретизации (восстановления). При этом
x * (t) = x(ti ), |
(2.6) |
где ti ≤ t ≤ ti+1 .
Линейная аппроксимация имеет место при n=1. Остаточный член
|
3 |
|
|
L (t) ≤ M 2 |
∆t 2 z(z −1) |
(2.7) |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
имеет максимальное значение при z=0,5. |
|
|
|
В этом случае шаг дискретизации определяют из условия |
|||
|
∆t ≤ |
8εдоп . |
(2.8) |
|
|
М2 |
|
График линейной аппроксимации приведен на рис. 2.2. |
|||
x(t) |
|
|
|
x*(t)=L1(t) |
|
|
x(t) |
|
|
|
t |
Рис. 2.2. Линейная аппроксимация |
|||
Параболическая аппроксимация имеет место при n=2. Остаточный
член
L (t) ≤ |
M |
3 |
∆t3z(z −1)(z − 2) , |
(2.9) |
|
|
|||
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
имеет максимальное значение при z = 0,42. При этом шаг дискретизации определяют из условия
∆t ≤ 3 |
20,8 εдоп . |
(2.10) |
|
М3 |
|
4
Точность аппроксимации оценивается: - по показателю наибольшего отклонения
∆xmaxi |
= max |
|
x(t) − x* (t) |
|
; |
(2.11) |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
t ∆t |
|
||||||||
- по среднеквадратичному показателю |
|
||||||||||
σ = |
1 ti +∫∆t (x(t)− x* (t))2 dt ; |
(2.12) |
|||||||||
|
∆t |
|
|
ti |
|
||||||
- по интегральному показателю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ι = |
ti +∆t |
|
x(t)− x* (t) |
|
dt , |
(2.13) |
|||||
|
|
||||||||||
∫ |
|
|
|
||||||||
|
ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где t (ti; ti+1) в выражениях (2.12) и (2.13). |
|
||||||||||
3.ПРИМЕТЫ ВЫБОРА ШАГА ДИСКРЕТИЗАЦИИ
ИОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
Впримерах рассматривается аналоговый сигнал вида
x(t)=1+0,2sin 0,3t −0,7e−0,5t |
(3.1) |
на интервале [0;5]. Допустимая погрешность дискретизации (восстановления) выбирается из условия
εдоп = |
0,05 хmax . |
(3.2) |
Так как функция x(t) возрастающая, то максимальное значение |
||
сигнала xmax = x(t = 5)=1,14. |
, т.е. εдоп = 0,057 . |
|
Отсюда εдоп = 0,05 1,14 = 0,057 |
|
|
5
3.1. Ступенчатая аппроксимация
Шаг дискретизации при ступенчатой аппроксимации выбирается по выражению (2.5). Для определения максимального значения первой производной по модулю М1 продифференцируем функцию (3.1). В итоге
′ |
−0,5t |
. |
(3.3) |
|
|||
x (t)= 0,06cos0,3t + 0,35e |
|
Так как функция x′(t) убывающая, то наибольшее значение находится в начале интервала, т.е.
M1 = |
′ |
x (t = 0) = 0,41. |
Отсюда шаг дискретизации
∆t0 ≤ 0,0570,41 = 0,139.
Примем ∆t0 = 0,135. В итоге на интервале изменения сигнала x(t) [0;5] число шагов дискретизации
k = 0,1355 = 37,03.
Примем k=37. Тогда правая граница интервала
tmax=0,135 37=4,995
Исходный и аппроксимированный сигналы приведены на рис. 3.1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,068 |
|
|
1 |
0,095 |
|
8 |
|
|
2 |
0,135 |
|
|
9 |
2 |
0,176 |
|
|
9 |
0,203 |
|
8 |
0 |
|
2 |
|
4 |
,16 |
|
8 |
||||||||||
0 |
|
0,1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||||||||
, |
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
||||||||
Рис. 3.1. Исходный сигнал и аппроксимированный сигнал при ступенчатой аппроксимации
Оценим точность восстановления при ступенчатой аппроксимации по оценкам (2.11)÷(2.13). Так как x(t) функция возрастающая, а x*(t) – убывающая, то максимальное отклонение x(t) от x*(t)=L0(t) будет на первом шаге дискретизации, т.е.
∆xmax = x(0,135)− x(0)= 0,054, т.е. ∆xmax = 0,054.
Оценим точность по интегральному показателю (2.13), который характеризует площадь между исходной функцией x(t) и аппроксимированной функцией x*(t) на каждом шаге дискретизации, т.е.
I = |
|
IT − IП |
|
, |
(3.4) |
|
|
где IT – площадь криволинейной трапеции, определяемой по выражению
tmax |
|
|
IT = ∫x(t)dt , |
(3.5) |
|
0 |
|
|
т.е. в данном примере |
|
|
IT = 4,995∫ (1+0,2sin 0,3t −0,7e−0,5t )dt =t −0,67cos0,3t +1,4e−0,5t |
|
4,995 = 4,334. |
|
||
0 |
|
0 |
7
IП – суммарная площадь прямоугольников с основанием ∆t и высотой x*(i∆t), где i =1, m , т.е.
m
I П = ∆t ∑ x((i −1)∆t). (3.6)
i=1
В примере
37
I П = 0,135 ∑x((i −1)∆t)= 4,271.
i =1
Отсюда имеем, что
I=4,334-4,271=0,063, т.е. I=0,063.
Для оценки по среднеквадратичному показателю (2.12) ошибки восстановления посчитаем приближенную разницу между исходной и аппроксимирующей функциями. На каждом шаге дискретизации эту площадь можно вычислить как площадь прямоугольного треугольника с катетами ∆t и xi+1(t)− xi (t)= ∆xi (t), т.е.
ti +∆t
∫
ti
Отсюда
σi
x(t)− xx (t) |
|
2 |
|
∆t ∆x (t) |
2 |
|
|
||||||
|
|
dt ≈ |
i |
. |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
∆t 2∆x 2 |
(t) |
|
∆x |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
i |
|
= |
i |
|
∆t . |
|
∆t |
|
|
||||||
|
4 |
|
|
2 |
|
|
||
Тогда на всем интервале t[0;tmax ]
σ = 1 m σi m i∑=1 .
Для данного примера имеем, что
(3.7)
(3.8)
(3.9)