Файл: И.А. Штефан Дискретизация сигналов по критерию наибольшего отклонения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2024
Просмотров: 157
Скачиваний: 0
8
1 |
37 |
, σ = 0,0042. |
|
σ = |
∑σi = 0,0042 |
||
37 i =1 |
|||
3.2. Исследование влияния шага дискретизации на точность восстановления
Исследуем влияние шага дискретизации на точность восстановления при ступенчатой аппроксимации в интервале от 0,5∆t0 до 1,5∆t0 с интервалом 0,1 ∆t0. В примере величина изменения шага дискретизации δТ0=0,1 0,135=0,0135. При этом минимальный шаг дискретизации
∆t0min=0,5 0,135=0,0670, а максимальный ∆t0max=1,5 0,135=0,2025. Ре-
зультаты расчета показателей (2.11)÷(2.13) приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Показатели точности восстановления
∆t0 |
0,0675 |
0,081 |
0,0945 |
0,108 |
0,1215 |
0,135 |
0,1485 |
0,162 |
0,1755 |
0,189 |
0,2025 |
∆xmax |
0,0273 |
0,033 |
0,038 |
0,043 |
0,048 |
0,054 |
0,059 |
0,064 |
0,069 |
0,074 |
0,079 |
σ |
0,001 |
0,0023 |
0,0024 |
0,0030 |
0,0036 |
0,0042 |
0,0048 |
0,0055 |
0,0062 |
0,007 |
0,0076 |
I |
0,028 |
0,0301 |
0,034 |
0,045 |
0,057 |
0,063 |
0,071 |
0,074 |
0,080 |
0,083 |
0,094 |
Графики изменения показателей точности восстановления ∆xmax, I |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
приведены на рис. 3.2, а σ - на рис. 3.3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0,1 |
∆Xmax,I |
||||||||||||||||||||||||||||||||
0,08 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0,06 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0,04 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0,02 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
1 |
5 |
8 |
2 |
5 |
9 |
2 |
6 |
9 |
3 |
∆t |
||||||||||||||||||||||
6 |
8 |
9 |
0 |
2 |
3 |
4 |
6 |
7 |
8 |
0 |
|||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
|||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||
Рис.3.2. Графики показателей точности восстановления ∆xmax, I |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0,008 |
σ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
0,006 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0,004 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0,002 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
1 |
5 |
8 |
2 |
5 |
9 |
2 |
6 |
9 |
3 |
∆t |
||||||||||||||||||||||
6 |
8 |
9 |
0 |
2 |
3 |
4 |
6 |
7 |
8 |
0 |
|||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
|||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||
Рис. 3.3. График показателя точности восстановления σ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3.3. Линейная аппроксимация
Шаг дискретизации при линейной аппроксимации выбирается по выражению (2.8). Для определения максимального значения второй производной по модулю М2 продифференцируем функцию (3.3). В итоге
′′ |
−0,5t |
. |
(3.10) |
x (t)= −0,018sin 0,3t −0,175e |
Тогда имеем, что
M 2 = max{(x′′(t))}0,175, гдеt [0,5], т.е. М2=0,175.
Тогда шаг дискретизации
∆t ≤ |
||
8 0,057 |
=1,6142. |
|
1 |
0,175 |
|
Примем ∆t1=1,6. Тогда на интервале изменения сигнала x(t) [0;5] число шагов дискретизации
k = 15,6 = 3,125.
Примем k=3. Тогда правая граница интервала tmax=1,6 3=4,8.
10 |
||||||||||
Исходный и аппроксимированный сигнал приведены на рис. 3.4. |
||||||||||
1,2 |
x(t) |
|||||||||
1 |
||||||||||
0,8 |
||||||||||
0,6 |
||||||||||
0,4 |
||||||||||
0,2 |
||||||||||
0 |
10 11 12 13 t |
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||
Рис. 3.4. Исходный и аппроксимированный сигналы |
||||||||||
при линейной аппроксимации |
||||||||||
Точность восстановления при линейной аппроксимации осуществляется по оценкам (2.11), (2.13).
Максимальное отклонение при линейной аппроксимации достигается при z=0,5 на первом шаге дискретизации. В итоге
∆x |
+ |
∆t |
− P |
+ |
∆t |
(3.11) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= x t |
1 |
t |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
max |
0 |
2 |
1 |
0 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
∆t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= x(0,8)= 0,578316 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x t0 + |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Значение |
P |
+ |
∆t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
1 |
определим по формуле (2.2): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
0 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∆t |
0,5(−0,5) (xt |
0 |
) |
x(t |
0 |
+∆t) |
1 |
x(0) |
x(∆t |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||
P |
t |
o |
+ |
1 |
= − |
− |
= |
+ |
1 |
= 0,539 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
0,5 |
−0,5 |
4 |
0,5 |
0,5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда имеем, что ∆xmax=0,78316-0,539=0,0394, т.е. ∆xmax=0,0394.
11
Для оценки точности по интегральному показателю используем выражение (3.4), где
4,8
IT = ∫x(t)dt = 4,106,
0
где IП – площадь трапеций, определяемая по выражению:
x(0)+ x(4,8) |
2 |
|||||
I П = ∆t1 |
+ ∑x(i∆t) |
= 4,029. |
||||
2 |
||||||
i =1 |
||||||
Таким образом, при линейной аппроксимации
I =4,106-4,029=0,077, т.е. I=0,077.
3.4. Параболическая аппроксимация
Шаг дискретизации при параболической аппроксимации выбирают по выражению (2.10). Для определения максимального по модулю значения третьей производной М3 продифференцируем функцию (3.10):
′′′ |
−0,5t |
. |
(3.12) |
x (t)= −0,0054cos0,3t +0,0875e |
Отсюда
M 3 = max{x′′′(t)}= 0,0821,
где t [0,5]. М3=0,0821.
Шаг дискретизации при параболической аппроксимации
∆t2 = 3 20,8 0,057 = 2,228, т.е. ∆t2=2,228. 0,0821
Число шагов дискретизации
k = 2,2285 = 2,244. Примем k=2.