Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл (12,43Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 925

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2 КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

7 1

Величина М—£т, называется массой системы.

Во время движения точек системы меняются rt, а значит, меняется и гс, т. е. придвижении точек системы двржется иее центр инерции. Траекторией центра инерции служит геометрическое место (годограф) концсв векторов гс, а скорость точки С направлена по касательной к этому годографу и определяется равенством

которое получается дифференцированием равенства (10) по t. Из равенства (11) следует, что

(12)

т. е. что количество движения системы равно массе системы, умноженной на скорость ее центра инерции.

Из теоремы об изменении количества		движения следует тогда
dQ	dvn
dt	dt ' ю е ш '	\lvj /

Но равенство (13) выражает второй закон Ньютона для мате-

риальной точки, помещенной в центре		инерции и движущейся
вместе с ним, если	масса ьтой точки	равна	М и если крей
приложена сила RBHem.	Отсюда следует, чтотеорему сб изменении
количества движения	можно сформулирсвать так:
При движении системы материальных точек ее центр инерции
движется так, как двигаласьбы материальная			точка, пом(щен-
ная в центре инерции, если бы в ней были			сконцентрированы

массывсех точек системы и к ней были бы приложенывсе внешние силы,действующие на точки системы.

В	такой формулировке теорему об изменении количества дви-
жения	называют теоремой о движении центра инерции.
		dvc
У	замкнутых систем /?внеш = 0, т. е. -rr — v и
	©с= const.	(14)
Поэтому закон сохранения количества		движения можно сформу-
лировать так: центр инерциизамкнутой		системы движется с по-

тюянной скоростью (быть может, равной нулю).

Разумеется, это утверждение верно и для проекций соответствующих векторов. Если проекция главного вектора внешних сил на некоторую ось тождественно равна нулю, то центр инерции движется так, чго проекция скорости центра инерции на эту ось оиается постоянной.

72	ГЛ III ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

Далее иногда будет удобно вводить в рассмотрение вспомогательную систему отсчета, которая движется поступательно и начало которой помещено в центр инерции системы. Такую систему отсчета будем называть далее центральной. В том случае, когда скорость центра инерции постоянна, центральная система является инерциальной.

§ 3. Момент количества движения системы материальных точек (кинетический момент)

Рассмотрим вектор qt количества движения i-й материальной точки системы. Выберем в нашей инерциальной системе произвольный полюс А и определим момент вектора qt относительно этого полюса так же, как мы делали выше для сил:

	К At = тА	(д,) = /•< х	qt							(15)
где Г( — радиус-вектор,		проведенный	из	полюса		А	к	i-и		мате-
риальной	точке.
Вектор	KAI называется моментом		количества			движения			точки
относительно полюса А. Главным моментом					количества			движения
		системы			материальных					точек
		относительно				полюса			А	или
		кинетическим				моментом				си-
		стемы относительно						этого по-
		люса		называется			вектор
									•/• (16)
			Общности			ради		предпо-
		ложим			теперь, что			полюс А

ffсам движется относительно той же самой инерциальной системы отсчета, по отношению к которой рассматри-

	Рис. III.2.			вается	движение	системы
				материальных точек.
Пусть	vA — скорость полюса			в некоторый	момент. Обозначим
далее через гА		радиус-вектор	из начала координат инерциальной
системы	отсчета	к полюсу А,	через ГГ — радиус-вектор			из	начала
координат к г-й точке системы,				а через г[ — радиус-вектор			к этой
же i-й точке системы, отложенный из движущегося						полюса А
(рис. III.2); тогда
Дифференцируя		это тождество,		находим

dr'Jdt ^v'i — Vi — vA.

		§ 3 МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ			73
По	определению
Дифференцирование			по t	дает
dKA	v / ,	dv
		x -F,)-]- YA № - VA) xmm] = MA - vA x
Но	Л1л = MAкпеш	и 2	mi°i	~ Mvc\ используя эти равенства	и

меняя порядок сомножителей в векторном произведении, оконча* тельно получаем

dKA
Л1	+ М	(17)

В частном случае, когда полюс А неподвижен относительно рассматриваемой инерциальной системы или совпадает с центром инерции С, векторное произведение в правой части выражения (17) равно нулю и производная dK.Aldt равна1 )

1Г1А

внеш-

(18)

Таким

образом,

мы доказали

теорему

об

изменении

кинетичв'

ского

момента:

Производная от

кинетического момента

системы

материальных

точек

{относительно

неподвижного

полюса) равна

главному мо-

менту

внешних

сил,

приложенных

точкам

системы,

относи-

тельно этого же полюса2).

Для замкнутых

систем выполняется

условие

МАтЕШ

= 0, так

как на материальные точки замкнутой системы не действуют

внешние силы. Поэтому при движении замкнутой

системы

мате-

риальных

точек

ее

кинетический

момент

относительно

любого

неподвижного полюса не

меняется.

Это

утверждение называется

законом сохранения кинетического

момента.

Если система

не

замкнута,

но

относительно какого-либо по-

люса

Л1лвнеш = 0, то

из

формулы

(18)

следует, что

/Сл = const.

(19)

J ) Такое же выражение

для dKAldt

получается в тех случаях,

когда или

г>д = 0,

или я с = 0, или векторы vA

и vc

коллинеарны.

2) В связи с тем, что производная

от ректора

по времени

равна

скорости

конца вектора, эту теорему

можно формулировать

так: скорость конца

вектора

кинетического момента системы равна главному

моменту внешних сил. В такой

форме теорему об

изменении

кинетического

момента

иногда

называют теоре-

мой Резаля-

ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

Главный момент Л1двнеш

не зависит от выбора

полюса только

тогда, когда главный вектор Rmwm

= 0l).

Поэтому

незамкнутых

систем

во время движения

КА = const

для

любого

полюса

А,

если

одновременно выполнены два

условия: Л1ввнсш = 0 д л я

неко-

торого фиксированного полюса В и, кроме того,

/?в н е ш = 0.

Разумеется, аналогичные

утверждения

верны

и для

проекций

вектора

К А на ось. Проектируя

равенство (18) на произвольную

неподвижную ось /, получаем

^ -

М,

(2(»

Д1 — т / в н е ш >

K^V)

где

Ki — кинетический

момент

относительно

оси

М ;

в н е ш —

главный момент внешних сил относительно той же оси.

Если

М;ВНеш = 0. т о

/G = const,

т. е. при

движении

вектор

КА

изменяется так, что его проекция на направление / остается неизменной.

§4. Кинетическая энергия системы

Впредыдущей главе при рассмотрении системы, в которой возможны лишь временные взаимодействия, было показано, что скалярной мерой движения служит кинетическая энергия системы

Выясним теперь, как изменяется кинетическая энергия Т во время движения произвольной системы, в которой возможны не только временные взаимодействия, но и иные формы взаимодействия материальных точек. С этой целью вернемся к определению силы Fi — dqildt и умножим обе части этого равенства скалярно

на drt:

(dqrfdt) • dn = Ft • drt.

Но по определению элементарной работы (см. § 4 гл. II)

поэтому

• d v t = f>A{.

Это равенство можно записать так:

См. приложение.