Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл (12,43Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 964

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

256		ГЛ	VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Учитывая			это и	отбрасывая	мнимые		члены		в правой	части
(85),	получаем
			+ °°
		qj (0 = i J		[р ( й ) c o s	Qt-S	(Я) sin Qt]dQ.				(86)
Вспомним теперь, что по постановке рассматриваемой задачи
все	q,	тождественно		равны нулю	при t <		0.	Поэтому если		заме-
нить	в	правой части формулы			(86)	t	на	~t,	то левая	часть
должна		обратиться тождественно			в нуль:
			~							(87)
			~
			— со
Сложив		левые и правые части формул				(86) и (87), получим				более
простое		выражение
				со
			qj (t) = I J P (fl)cos Я* с(Й.							(88)

Пусть действительная часть комплексного спектра координаты 9/ —четная функция. В таком случае вместо (88) можно написать еще более простой интеграл

(Я) cos Ш dQ.

(89)

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего


вблизи	положения		устойчивого равновесия под действием внеш-
ней силы,		начинающей действовать			с момента t = 0 при			нулевых
начальных		условиях, к одной квадратуре в действительной обла-
сти. Зная действующую силу Qf(t),					можно вычислить комплекс-
ный спектр ее и координаты q} и затем выделить							действитель^
ную часть		спектра	qr	Полученная таким		образом		действи-
тельная	функция действительного				аргумента	P(Q)	называется

действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для

этого — представить кривую	Р (Q) кусочно-линейной функцией и
провести интегрирование по	отрезкам прямых.

Таким образом, движение в окрестности положения устойчивого равновесия может быть найдено в случае, когда внешнее воздействие либо гармоническое, либо периодическое, но не гармоническое, либо, наконец, не периодическое, но представимое интегралом

Фурье. Центральным для решения этой задачи являются понятия-ком-

§ 7. ВНЕШНЯЯ СИЛА, ЗАВИСЯЩАЯ ЯВНО ОТ ВРЕМЕНИ	257
плексного спектра и частотной характеристики, которая	в свою

очередь является далеко идущим обобщением понятия «резонансная кривая», введенного в механику еще при исследовании кон-


сервативных			систем.
Заметим, что и в случае непериодического воздействия умно-
жение	возмущающей				силы на постоянный множитель приводит
к тому,		что этот			же множитель оказывается в правой части
выражения (88) либо (89) для							возникающих отклонений. Отсюда
следует,		что	и	в этом случае,			если внешнее возмущение доста-
точно	мало		по модулю, то и отклонения обобщенных					координат
будут	малы,		а	это	значит,	что движение не выйдет		за пределы
окрестности, где				допустима		линеаризация уравнений.

Подведем теперь итоги этого параграфа. Введя выше понятие об устойчивости, мы установили сам факт, что движение, начавшееся благодаря малым отклонениям от устойчивого положения равновесия, не выходит за пределы малой его окрестности или даже асимптотически стремится к положению равновесия. Мы видим теперь, что малые по модулю внешние возмущения (все равно гармонические, периодические или непериодические, но представимые интегралом Фурье) в асимптотически устойчивых

случаях

приводят

движениям,

также

не покидающим малую

окрестность.

Именно поэтому линеаризация задачи, т. е. замена

исходных

уравнений Лагранжа их

простым линейным приближе-

нием,

играет

столь существенную

роль при изучении движений,

возникающих в окрестности положений равновесия.

Область, в которой можно пользоваться линейными уравне-

ниями,

сама

по себе,

разумеется, не определяется этими уравне-

ниями и зависит от старших членов соответствующих

разложений

нелинейных

функций

в ряды. В

этом

смысле

понятия «малые

отклонения»

и «малые колебания» условны. Слово «малое» в этих

терминах

говорит

не

буквально

малости

самих

отклонений

или их

областей,

а скорее о малости

наших

знаний о границах

этих областей. Во многих задачах

механики

оказывается, что

области

эти

достаточно велики и покрывают

полностью область

отклонений,

которыми практически

приходится

иметь

дело

при любых действующих на систему внешних силах.

В иных

слу-

чаях,

однако,

оказывается, что области

эти весьма

ограничены,

и замена

нелинейных

уравнений

Лагранжа

их

линейным

при-

ближением требует

таких случаях

большой осмотрительности.

В настоящее время не существует общих приемов, позволяющих в любом случае установить область, в которой можно с достаточной точностью пользоваться линейной аппроксимацией. Область эта в каждом конкретном случае определяется экспериментальной проверкой и опытом решения аналогичных задач.

9 М. А, Ай^ерман

Г л а в а VII

ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

					§ 1.	Введение
Эта глава посвящена изучению движений материальной системы
в том случае,			когда все		внешние и внутренние силы, действую-
щие	на	точки	системы,		потенциальны,			т. е. когда		существует
функция координат точек					системы и, быть может, времени
			Ф ( * ъ	Уи	Zi,	•••. xN, yN,		zN\	t)		(1)
такая,		что для	каждой	точки			системы проекции равнодействую-
щей	приложенных к ней				сил	могут быть		представлены так:
	с	дФ	п	дФ		г,	дФ	,.	. о	,,ч	._.

Если функция (1), удовлетворяющая условиям (2), существует, то говорят, что движение системы происходит в потенциальном поле с силовой функцией (1) и с потенциальной энергией

П= — Ф.

Впредыдущих главах были установлены следующие важные факты, касающиеся движений в потенциальных полях.

1° Если в «исходных» декартовых координатах существует потенциальная функция (1), то при любом выборе «новых» (обобщенных) координат qy(/ = l, . . . , п) существует функция ^ ( f t , . . .

. . . , qn; t), такая, что

		Ql	=	-%i		( / = ! . . . . . « ) .			(3)
Чтобы найти	эту		функцию			V (qx,	. . . , qn\	t), надо в	выраже-
нии для Ф(х, и,	г\ () заменить все декартовы							координаты точек их
выражениями через обобщенные координаты, используя									формулы
преобразования	(8) из			гл. IV.
2° Уравнения Лагранжа, описывающие движение в потен-
циальных полях,		имеют вид
	d	dL		dL	„	,.	,	ч	...
	diW.-lk,,-0					(/ = !.•••>«).			(4)
где L = Т — V — лагранжиан					системы.

	§ 1. ВВЕДЕНИЕ		259
Уравнения (4) описывают движения			как в стационарном, так
и в нестационарном поле.
3° Если	поле стационарно, т. е.	если П не зависит явно от
времени, то	система консервативна. При движении консерватив-
ной системы ее полная энергия Е,		подсчитанная относительно

декартовой системы координат, не изменяется. Этим же свойством

обладает полная		энергия	консервативной системы Е, подсчитан-
ная	относительно	любой	иной системы координат qx, ...,	qn,
если преобразование «новых координат» q в декартовы стацио-
нарно, т. е. не зависит явно от времени. В этом случае Т = Т2				=
	п
= 2"	У aJk (?) QjQk — квадратичная форма от обобщенных			ско-

/.* = !

ростей с коэффициентами, зависящими только от обобщенных координат,

	L = T2 -V(<7),
и уравнения Лагранжа (4) приводятся			к виду
п
2	atk (?) <?= ()	(/=1		п),	(5)
* =	1
где (*) означает	совокупность членов, зависящих лишь от q и q,
но не зависящих от (j.
В силу теоремы, доказанной		в § 3 гл. IV,
и поэтому система (5) алгебраически			разрешима		относительно
старших производных, т. е. может быть представлена в виде
	q/ = G/{q, q)	(j = l,	...,	п),	(6)

и, как и в общем случае уравнений Лагранжа, начальное состоя-

ние системы, т. е.	совокупность всех qt	и fy при /= 0, пол-
ностью определяет	последующее движение.

Используя эти ранее установленные факты, мы получим теперь уравнения, специально приспособленные для описания движений в потенциальных полях, и изучим некоторые общие свойства таких движений. Весь материал этой главы в равной мере относится к системам, для которых существует обобщенный потенциал. Более того, за редкими исключениями, которые будут далее оговорены, он относится как к натуральным, так и к ненатуральным системам (I-M. § 5 гл. IV). Это связано с тем, что далее мы будем исходить из предположения, что движение системы может быть описано уравнениями Лагранжа (4), и лишь в отдельных особо оговариваемых случаях будем предполагать, что

260	ГЛ VII ДВИЖЕНИГ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

лагранжиан имеет вид L—T— V. Но в любом сл>чае будет предполагаться, что

det л. я.

Ф0,

т. е. что уравнения Лагранжа могут быть разрешены относительно $1 и представлены в виде уравнений (6).

§ 2. Канонические уравнения (уравнения Гамильтона)

Начнем с простейшего примера. Рассмотрим материальную точку, движущуюся в стационарном потенциальном поле. В качестве обобщенных координат возьмем декартовы координаты движущейся точки

Кинетическая энергия этой системы равна

а функция Лагранжа			равна L = T—V(q1, q2, qa). Следовательно,
в этом примере
3L	дТ2	.	3L	дТ„	.	0L	дТ,
dfa	дх		3q2	ду	у '	dq^	дг
Таким образом, в рассматриваемом простейшем примере част-
ные производные,		фигурирующие			в первых		членах	уравнений
Лагранжа,	имеют	простой		физический		смысл —они		совпадают