ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 7079
Скачиваний: 12
500 Глава 8. Электродинамика
Trng μ g νg ρg σ g κ g ηs = 4[hμνhρσ hκη - hμνhρκ hση + hμνhρηhσκ
-hμρhνσ hκη + hμρhνκ hση - hμρhνηhσκ + hμσ hνρhκη - hμσ hνκ hρη
+hμσ hνηhκρ - hμκ hνρhση + hμκ hνσ hρη - hμκ hνηhρσ + hμηhνρhσκ (8.À.7) -hμηhνσ hρκ + hμηhνκ hρσ ] .
Для нечетного числа g-матриц результат намного проще:
Trng μ1 g μ2 . . . g μ2N+1 s = 0 . |
(8.À.8) |
Формула (8.А.1) доказывается по индукции. Заметим, прежде всего, что
Trng μ g ν s = -Trng νg μ s + 2Trnhμν × 1s = -Trng μ g ν s + 8hμν ,
òàê ÷òî Tr{gμgν} = 4hμν, в согласии с (8.А.1). Далее, предположим, что (8.А.1) верна для N £ M - 1. Тогда
Trng μ1 g μ2 . . . g μ2M s = 2hμ1μ2 Trng μ3 . . . g μ2M s - Trng μ2 g μ1 g μ3 . . . g μ2M s
= 2hμ1μ2 Trng μ3 . . . g μ2M s - 2hμ1μ3 Trng μ2 g μ4 . . . g μ2M s
+Trng μ2 g μ3 g μ1 g μ4 . . . g μ2M s
=2hμ1μ2 Trng μ3 . . . g μ2M s - 2hμ1μ3 Trng μ2 g μ4 . . . g μ2M s
+ 2hμ1μ4 Trng μ2 g μ3 g μ5 . . . g μ2M s - . . .
+ 2hμ1μ2M Trng μ2 . . . g μ2M−1 s - Trng μ2 . . . g μ2M g μ1 s .
След любого коммутатора равен нулю, так что последнее вычитаемое выражение в правой части равно исходному выражению в левой части, и поэтому
Trng μ1 g μ2 . . . g μ2M s = hμ1μ2 Trng μ3 . . . g μ2M s |
||
-hμ1μ3 Trng μ2 g μ4 . . . g μ2M s + hμ1μ4 Trng μ2 g μ3 g μ5 |
. . . g μ2M s |
(8.À.9) |
- . . . + hμ1μ2M Trng μ2 . . . g μ2M−1 s .
Приложение. Следы |
501 |
Если предположить, что формула (8.А.1) правильна для следа любого произведения 2N−2 матриц Дирака, то формула (8.А.9) показывает,
что эта же формула (8.А.1) правильна для следа 2N матриц. Простейший способ убедиться в том, что след нечетного числа
дираковских матриц равен нулю, это заметить, что −γμ связана с γμ преобразованием подобия: −γμ = γ5γμ(γ5)−1. Следы не меняются при та-
ком преобразовании, поэтому след нечетного числа дираковских матриц равен самому себе со знаком «минус» и следовательно равен нулю.
Мы сталкиваемся с еще одним типом следов вида
Trnγ 5 γ μ1 . . . γ μn s.
Такой след обращается в нуль при нечетных n по тем же при- чинам, что и для следов без γ5. Кроме того, этот след равен нулю
ïðè n = 0 è n = 2:
Trlγ 5 q = 0 , |
(8.À.10) |
Trnγ 5 γ μ γ ν s = 0 . |
(8.À.11) |
(Чтобы увидеть это, вспомним, что γ5 ≡ iγ0γ1γ2γ3, и заметим, что невозможно произвести спаривание индексов в Tr{γ0γ1γ2γ3} èëè Tr{γ0γ1γ2γ3γμγν} так, чтобы пространственно-временные индексы в ка-
ждой паре были одинаковы.) При n = 4 такое спаривание индексов в Tr{γ0γ1γ2γ3γμγνγργσ} возможно, но только в том случае. если μ, ν, ρ, σ являются какими-то перестановками 0, 1, 2, 3. Более того, этот след должен быть нечетным относительно перестановок μ, ν, ρ, σ, òàê êàê γ-матрицы с разными индексами антикоммутируют. Следовательно след Tr{γ5γμγνγργσ} должен быть пропорционален полностью антисимметричному тензору εμνρσ. Коэффициент пропорциональности можно установить, положив μ, ν, ρ, σ равными 0, 1, 2, 3 и вспомнив, что ε0123 ≡ −1. Таким образом находим
Trnγ 5 γ μ γ ν γ ρ γ σ s = 4iε μνρσ . |
(8.À.12) |
След произведения γ5 с шестью, восемью и более дираковскими
матрицами можно вычислить теми же методами, которые использовались выше при доказательстве формулы (8.А.1).
502 |
Глава 8. Электродинамика |
Задачи
1.Вычислите дифференциальное и полное сечения процесса e+e− → μ+μ− в низшем порядке по е. Считайте, что спины электрона и
мюона не регистрируются. Используйте для электронов и мюонов простейший лагранжиан спинорной электродинамики.
2.Проведите каноническое квантование теории заряженного скалярного поля Φ и его взаимодействия с электромагнитным по-
лем, если лагранжиан равен:
L = −(Dμ Φ)† (Dμ Φ) − m2 Φ†Φ − λ(Φ†Φ)2 − 14 FμνFμν ,
Dμ Φ ≡ ∂μ Φ − iqAμ Φ , Fμν ≡ ∂μ Aν − ∂ ν Aμ .
Используйте кулоновскую калибровку. Выразите гамильтониан через поля A, Φ è Φ† и сопряженные им импульсы. Найдите
оператор взаимодействия V(t) в представлении взаимодействия через поля в этом представлении и их производные.
3.Используя результаты задачи 2, вычислите в низшем порядке по е дифференциальное и полное сечения рассеяния фотонов на массивной скалярной заряженной частице.
4.Напишите калибровочно-инвариантный лагранжиан для теории взаимодействия заряженного массивного векторного поля с электромагнитным полем.
5.Вычислите дифференциальное сечение электрон-электронного рассеяния в низшем порядке по е. Считайте, что спины начальных и конечных частиц не регистрируются.
Список литературы
1.См., например, Green, M.B., Schwarz, J.H., and Witten, E. Superstring Theory (Cambridge University Press, Cambridge, 1987), Section 2.2. (Есть рус. пер.: М. Грин, Дж. Шварц, Ю. Виттен. Теория суперструн. Тт. 1, 2. М.: Мир, 1991)