Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

нескольких скалярных полей приводит к гамильтониану

(Здесь скалярные поля Fn выбраны действительными скалярами,

однако можно включить в рассмотрение и комплексные скалярные поля, разделив их на действительную и мнимую части.) В общем случае возникает нетривиальное слагаемое, линейное по Pn, íî êî-

эффициент в квадратичном слагаемом есть константа, равная просто единичной «матрице»

Àxn,x′n′ = d4 (x - x¢)dnn′ .

В данном случае множитель cDet 2ipA [q] h−1/2 â (9.3.10) åñòü

независящая от полей константа, не влияющая на результаты. Однако не всегда все так просто. В качестве второго примера рас-

смотрим так называемую нелинейную s-модель, лагранжиан которой

L = - 21 å¶λ Fn¶λ Fm dnm + Unm(F) - V(F) .

nm

Прямое вычисление приводит к гамильтониану

Здесь А - зависящая от полей величина

Ànx,my = 1 + U(F(x)) −nm1 d4 (x - y) .

В подобных случаях детерминант может быть записан в виде вклада в эффективный лагранжиан, если воспользоваться соотношением Det А = exp Tr lnА. Заменяя пространственно-временной континуум дискретной решеткой точек посередине отдельных про- странственно-временных областей очень малого объема W, можно

интерпретировать дельта-функцию в Аnx,my следующим образом: d4(x - y) = W−1dx,y, òàê ÷òî

(lnÀ)nx,my = dx,y ln(1 + U(F(x))) - 1 × ln Wnm ,

где логарифм матрицы определяется своим разложением в ряд

Чтобы вычислить след, заметим, что åx ... = W−1òd4x ... . Тогда

детерминант равен

DetÀ µ exp -W−1 z d4x tr ln 1 + U(F(x)) ,

где символ «tr» означает след в обычном матричном смысле. Коэффициент пропорциональности (возникающий из слагаемого -ln W) íå

зависит от поля и поэтому не представляет интереса.

Можно рассматривать этот детерминант как поправку к эффективному лагранжиану

DL = - 21 iW−1tr ln1 + U(F(x)) .

Множитель W−1 можно представить в виде ультрафиолетово

расходящегося интеграла

W−1 = d4 (x - x) = (2p)−4 z d4p × 1 .

Мы не будем этого показывать, но дополнительные слагаемые в фейнмановских диаграммах для такой теории, связанные с поправкой DL, можно вывести и в рамках канонического формализма, учи-

тывая слагаемые от одновременных коммутаторов в пропагаторе производных по времени скалярного поля 7. Пренебрежение этой поправкой приводит к ложной зависимости S-матрицы от способа определения скалярного поля, и, кроме того, несовместимо с любой симметрией лагранжиана относительно преобразований скалярного поля.

Даже в случае, когда множитель (Det А)−1/2 в формуле (9.3.10)

для функционального интеграла не зависит от полей, лагранжиан в этой формуле может отличаться исходного. Например, рассмотрим теорию нескольких действительных векторных полей с плотностью лагранжиана

ãäå òîêè Jnμ являются либо внешними с-числовыми источниками,

либо зависят от других полей (в последнем случае в лагранжиан следует добавить вклад других полей). Простое обобщение результатов раздела 7.5 приводит к гамильтониану

В правую часть следует также добавить слагаемые от любых других полей, входящих в Jnμ . Коэффициент при квадратичном

слагаемом здесь несколько сложнее, чем в первом примере, и равен

но он не зависит от полей, так что множитель (Det А)−1/2 несущест-

вен. С другой стороны, лагранжиан (9.3.9) отличается от исходного: он выражается только через поля A и их производные по времени, но не содержит вовсе временных компонент A0 *. По этой причине лоренцовская инвариантность выражения (9.3.10) далеко не очевидна.

Чтобы исправить это положение, можно вновь ввести вспомогательное поле. Предположим, что мы добавили к гамильтониану слагаемое

DH = - 21 åm2n z d3xA0n - mn−2Ñ × Πn + mn−2J0n 2

n

* Это и неудивительно, поскольку мы имеем дело с теорией со связями (второго рода), и приведенный гамильтониан получен в результате разрешения этих связей, выражающих А0 через независимые поля А и сопряженные им канонические импульсы. — Прим. ред.

и проинтегрировали по An0, а также по Аn è Πn. Результатом этого

может быть только появление не зависящего от полей общего множителя, поскольку DH квадратично по А0 (с независящим от полей

коэффициентом в слагаемом второго порядка по А0) и его стационарное значение обращается в нуль. Однако предположим, что мы интегрируем по Πn до интегрирования по An0. Гамильтониан в фун-

кциональном интеграле (9.2.17) заменяется на

Он все еще квадратичен по Πn с не зависящим от поля

(и даже более простым) коэффициентом при квадратичном слагаемом, так что интеграл по всем Πn можно взять, просто заменив Πn на его значение в стационарной точке функционала ånòd3xΠ × A& n - H - DH:

Πn = A& n + ÑA0n .

Åñëè Πn исключить именно таким способом, то ånòd3xΠ × A& n - H - DH

есть в точности исходный лоренц-инвариантный лагранжиан.

Чтобы учесть возможную необходимость введения вспомогательных полей типа Аn0, будем с этого момента записывать формулу для функционального интеграла после исключения канонически сопряженных импульсов в терминах полей yl, включающих как ка-

нонические поля qn, так и вспомогательные поля cr:

VAC, out TlOA [YA (tA )],OB [YB(tB )], . . .q VAC, in

имея при этом в виду, что лагранжиан L может содержать слагаемые, возникающие от зависящих от полей множителей вида (Det А)−1/2.