ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1956
Скачиваний: 1
1. 2. Рождение квантовой теории поля |
35 |
|
|
H = åhωk [b† (k)b(k) + a† (k)a(k)] + E0 , |
(1.2.64) |
k |
|
ãäå Å0 − бесконечно большое с−число |
|
E0 ≡ åhωk . |
(1.2.65) |
k |
|
Существование двух разных типов операторов a и b, равноправно входящих в гамильтониан, показывает, что построенная теория описывает два сорта частиц одной и той же массы. Как под- черкнули Паули и Вайскопф, эти две разновидности можно рассматривать как частицы и соответствующие античастицы, которые (если они заряжены) имеют противоположные заряды. Таким образом. как мы отмечали выше, бозоны со спином 0, так же, как и фермионы со спином 1/2, могут иметь свои античастицы, которые для бозонов невозможно интерпретировать как дырки в море частиц с отрицательной энергией.
Теперь можно выяснить, какие из операторов a и b или a† è b† являются операторами уничтожения, взяв среднее значение от коммутационных соотношений в состоянии вакуума Ψ0. Например, ес-
ëè a†k были бы операторами уничтожения, то при действии на вакуумное состояние они давали бы нуль, так что среднее по вакууму от (1.2.60) равнялось бы
−| | a(k)Ψ0 | |2 = dΨ0 , [a(k), a† (k)]Ψ0 i = +1, |
(1.2.66) |
в противоречии с требованием, чтобы левая часть равенства была отрицательной. Таким способом можно установить, что операторами уничтожения являются ak è bk, и поэтому
a(k)Ψ0 = b(k)Ψ0 = 0 . |
(1.2.67) |
Это условие находится в согласии со всеми коммутационными соотношениями. Итак, канонический формализм вынуждает заклю- чить, что коэффициент при e+iωt в выражении для поля (1.2.63) дол-
жен быть оператором рождения, как это получается и в формализме Фарри−Оппенгеймера 44 для частиц со спином 1/2.
Из уравнений (1.2.64) и (1.2.67) вытекает, что Е0 есть энергия вакуумного состояния. Если измерять все энергии относительно Е0,
36 |
Глава 1. Историческое введение |
то физическим оператором энергии станет оператор Н − Å0, причем
из (1.2.64) следует, что он положителен.
Как же обстоит дело с проблемой отрицательных вероятностей, которая стала отправной точкой в исследованиях Дирака? Как заметил Дирак, единственная плотность вероятности ρ, êîòî-
рую можно построить из решений свободного скалярного волнового уравнения Клейна−Гордона−Шредингера (1.2.28) и которая удов-
летворяет закону сохранения в форме (1.1.10), должна быть пропорциональна величине
L |
∂ϕ O |
(1.2.68) |
ρ = 2 ImMϕ† |
P |
|
N |
∂t Q |
|
и поэтому не обязательно положительна. Аналогично, во «вторично− квантованной» теории, где ϕ определяется уравнением (1.2.63), ρ не является положительным оператором. Так как оператор ϕ†(x) не коммутирует с оператором ϕ& (x), формулу (1.2.68) можно записать по-
разному, причем все выражения будут отличаться на бесконечно большие с−числа. Оказывается удобным записать плотность ρ â âèäå
|
i L |
∂ϕ |
|
∂ϕ† |
O |
|
|
ρ = |
|
M |
∂t |
ϕ† − |
∂t |
ϕP . |
(1.2.69) |
|
|||||||
|
h N |
|
Q |
|
|||
Интеграл по пространству от этого оператора легко вычисляется и равен
N ≡ z ρ d3x = åda† (k)a(k) − b† (k)b(k)i . |
(1.2.70) |
k |
|
Очевидно, что он имеет собственные значения обоих знаков. Однако в определенном смысле такая же проблема возникает и
в квантовой теории поля частиц спина 1/2. Дираковский оператор плотности ψ†ψ действительно положительный, но чтобы построить
физическую плотность, мы должны вычесть вклад заполненных электронных состояний. В частности, пользуясь разложением на плоские волны (1.2.43), можно записать оператор полного числа частиц:
N ≡ z d3x ψ†ψ =å (+)a† (k)a(k) + å (−)b(k)b† (k) .
k k
Соотношения антикоммутации для операторов b позволяют переписать это выражение как
1. 2. Рождение квантовой теории поля |
37 |
|
|
N − N0 = å (+)a† (k)a(k) − å (−)b† (k)b(k) , |
(1.2.71) |
|
k |
k |
|
ãäå N0 − бесконечная постоянная, |
|
|
N0 = å (−) 1 . |
|
(1.2.72) |
k |
|
|
Согласно (1.2.46) и (1.2.47) величина N0 есть число частиц в вакууме, поэтому Фарри и Оппенгеймер сделали вывод, что оператор числа физических частиц есть N − N0 и он может, как для
поля спина нуль, иметь и положительные, и отрицательные собственные значения.
Предлагаемое квантовой теорией поля решение этой проблемы заключается в том, что ни величины ψ у Фарри и Оппенгеймера, ни ϕ у Паули и Вайскопфа не являются амплитудами вероятно-
сти, которые должны определять сохраняющиеся положительные плотности вероятности. Вместо этого физическое гильбертово пространство разлагается на состояния, определенные как состояния c заданным числом частиц и/или античастиц в каждой моде. Если Φn
есть полный ортонормированный набор таких состояний, то измерение числа частиц в произвольном состоянии Ψ приведет к веро-
ятности обнаружения системы в состоянии Φn, равной |
|
|||||
P |
= |
Φ |
Ψ |
2 |
, |
(1.2.73) |
n |
|
| ( n, |
|
) | |
|
|
ãäå (Φn,Ψ) есть обычное скалярное произведение в гильбертовом про-
странстве. Таким образом, для любого спина даже не возникает вопрос о возможности отрицательных вероятностей. Волновые поля ψ, ϕ, и т. д. — совсем не амплитуды вероятности, а операторы,
рождающие или уничтожающие частицы в различных нормальных модах. Было бы хорошо, если бы вводящий в заблуждение термин «вторичное квантование» постепенно ушел бы на покой.
В частности, операторы N и N − N0 в (1.2.70) и (1.2.71) должны
интерпретироваться не как полные вероятности, а как операторы числа частиц, точнее, числа частиц минус число античастиц. Для заряженных частиц сохранение заряда приводит к тому, что операторы заряда пропорциональны операторам числа частиц, так что знак минус в (1.2.70) и (1.2.71) позволяет немедленно прийти к выводу, что заряды частиц и античастиц противоположны. В таком
38 Глава 1. Историческое введение
теоретико-полевом формализме взаимодействия соответствуют слагаемым в гамильтониане третьего, четвертого или более высоких порядков по полевым переменным, а вероятности различных процессов получаются использованием этих операторов взаимодействия в зависящей от времени теории возмущений. Концепции, изложенные в предыдущих кратких замечаниях, будут служить основой для большей части материала этой книги.
Несмотря на очевидные преимущества, квантовая теория поля не сразу вытеснила теорию дырок. Обе точки зрения некоторое время сосуществовали, а при вычислениях вероятностей физических реакций использовались разные комбинации теоретико-полевого и дырочного подходов. Этот период ознаменовался расчетами в низшем порядке по степеням е2 сечений разных процессов: e– + γ → e– + γ (1929 год, Клейн, Нишина 46); e+ + e– → 2γ (1930 год, Дирак 47); e– + e– → e– + e– (1932 год, Меллер 48); e– + Z → e– + γ + Z è γ + Z → e+ + e– + Z (здесь Z означает кулоновское поле тяжелого атома) (1934 год, Бете, Гайтлер 49); e+ + e– → e+ + e– (1936 ãîä, Áà-
áà 50). (Правила вычисления таких процессов сформулированы в гл. 8 и подробно проиллюстрированы на примере рассеяния фотона на электроне.) Эти вычисления в низшем порядке теории возмущений давали конечные результаты, находившиеся в разумном согласии с экспериментальными данными.
Тем не менее, в 1930-е годы нарастало ощущение неудовлетворенности квантовой теорией поля (с учетом или без учета теории дырок). Одной из причин была очевидная неудача квантовой электродинамики при расчете проникающей способности заряженных частиц в ливнях космического излучения, отмеченная в 1936 году Оппенгеймером и Франклином Карлсоном 50à. Другой причиной неудовлетворенности, оказавшейся связанной с первой, было постоянное открытие новых сортов частиц и взаимодействий. Мы уже упоминали электрон, фотон, позитрон, нейтрино, и, конечно, ядро атома водорода — протон. В 1920-е годы было распространено мнение, что более тяжелые ядра состоят из протонов и электронов, однако было трудно понять, как легкая частица вроде электрона могла удерживаться внутри ядра. Еще одна серьезная трудность, связанная с такой картиной, была отмечена в 1931 году Эренфестом и Оппенгеймером 51: для того, чтобы ядро обычного азота 14N имело атомный номер 7 и массовое число 14, оно должно было состоять из 14 протонов и 7 электронов и поэтому быть фермионом,