Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

при перестановке тождественных частиц? Для получения ответа рассмотрим приготовление начального или конечного состояния в некотором процессе рассеяния. Предположим, что в результате воздействия каких-то медленно меняющихся внешних полей совокупность неразличимых частиц в каждом из этих состояний переводится из стандартной конфигурации с импульсами k1, k2 и т. д. в конкретную конфигурацию с импульсами p1, p2 и т. д., причем частицы остаются в этом процессе на достаточно больших расстояниях друг от друга, что позволяет использовать нерелятивистскую квантовую механику. (Спиновые индексы явно не выписаны; подразумевается, что они включены в символы импульсов.) Для вычисления амплитуды такого процесса можно использовать функциональный метод *, считая, что q и р из раздела 9.1. являются не полями и им сопряженными импульсами, а координатами и импульсами частиц. Эти величины всегда удовлетворяют канони- ческим соотношениям коммутации, а не антикоммутации, независимо от того, являются ли частицы бозонами, фермионами или чем-то еще. Таким образом, здесь мы не связываем себя каким-то определенным типом статистики. По формуле (9.1.34) для функционального интеграла амплитуда áp1, p2, ...| k1, k2, ...ñÐ записывается

как интеграл по траекториям (путям), вдоль которых импульс одной частицы непрерывным образом меняется от значения k1 до значения р1, импульс другой тождественной частицы непрерывным образом меняется от значения k2 до значения р2 и т. д. Индекс Р указывает, что мы вычисляем амплитуду для различимых частиц. В частности, такая амплитуда симметрична относительно перестановок импульсов р и одновременных перестановок импульсов k, но не обладает определенной симметрией относительно перестановок р и k по отдельности. Однако если частицы действительно неразличимы, то существуют другие топологически допусти-

* Здесь я следую рассуждениям Ладлоу и С. де Витт11, с той разницей, что они применили функциональный метод ко всему процессу рассеяния, а не только к приготовлению начального или конечного состояния. В релятивистской теории возможность рождения и уничтожения частиц делает необходимым применение функционального метода к полям, а не к траекториям частиц. Для нас это не составляет проблемы, так как мы ограничились вычислениями в достаточно ранние или достаточно поздние моменты времени, когда участвующие в рассеянии частицы находятся достаточно далеко друг от друга.

мые пути, приводящие к той же конечной конфигурации. В случае пространства размерностью d ³ 3 единственными такими путями

являются те, которые переводят импульсы k1, k2, ... в некоторую нетривиальную перестановку P импульсов р1, ð2, ... *. Следовательно истинная амплитуда может быть записана как

где сумма берется по всем N! перестановкам N неразличимых частиц в состоянии, а CP − совокупность комплексных констант. Эти

амплитуды должны удовлетворять следующему правилу композиции, справедливому для неразличимых частиц:

p1, p2 , . . . k1, k2 , . . . = N1! z d3q1d3q2 . . . p1, p2 , . . . q1, q2 , . . . (9.7.2)

´q1, q2 , . . . k1, k2 , . . . .

Ñучетом формулы (9.7.1), это требование принимает вид

´ pP ′1, pP ′2 , . . . q1, q2 , . . . D qP ′′1, qP ′′2 , . . . k1, k2 , . . . D .

Применяя перестановку P ′′ одновременно к начальному и ко-

нечному состояниям в первой амплитуде справа, получим

* Формально это выражается утверждением, что первая гомотопическая группа конфигурационного пространства в случае d ³ 3 есть группа переста-

новок 12. Под «конфигурационным пространством» для N неразличимых частиц подразумевается пространство, точками которого являются N d-мерных векторов, при этом исключаются конфигурации, когда некоторые d-векто- ры совпадают (или находятся на расстоянии, не превышающем некоторого заданного), а конфигурации, отличающиеся только перестановкой векторов, отождествляются.

566 Глава 9. Методы функционального интегрирования

´ pP ′′P ′1, pP ′′P ′2 , . . . qP ′′1, qP ′′2 , . . .P qP ′′1, qP ′′2 , . . . k1, k2 , . . .D .

Однако амплитуды áp1, p2, ...| k1, k2, ...ñD удовлетворяют пра-

вилу композиции для различимых частиц

так что правило композиции для физических амплитуд можно записать как

что будет выполнено только и если только

Таким образом, коэффициенты CP должны образовывать одномерное представление группы перестановок. Однако эта группа имеет только два таких представления: тождественное с CP = +1 для всех перестановок, и знакопеременное представление с CP = +1 èëè CP = −1 в зависимости от того, является ли Р четной или нечет-

ной перестановкой. Эти две возможности соответствуют статистикам Бозе и Ферми *.

* В литературе многократно обсуждались возможности существования статистик, отличающихся от статистик Бозе и Ферми и объединяемых термином парастатистики. Было показано 11, что теории парастатистик в случае d ³ 3

пространственных измерений эквивалентны теориям, в которых все частицы являются обычными фермионами или бозонами, но несущими дополнительное квантовое число, так что волновые функции могут иметь необычные свойства по отношению к перестановкам импульсов и спинов.