Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1944

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах

789

Соответственно низкоэнергетический вклад в сдвиг энергии согласно формуле (14.2.17) принимает вид

[dEN ]низкие энергии = -z d3xz d3y uN (x)[å*À (x, y; EN )]низкие энергии uN (y)

=

-ie2

 

z

d4k

z

d3x

z

d3y

 

 

N (x) g rSÀ (x, y; E - k0 )g ruN (y)

 

 

u

 

(2p)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

1

 

 

 

 

 

1

 

 

O

 

´

M

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

P eik×(x-y)

 

 

- ie

k2 + m2

 

 

 

 

N k2

 

- ie Q

(14.3.27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- dme(m)z d3x uN (x) uN (x) .

Заметим, что слагаемые, пропорциональные Z2(m) − 1, выпали, так

как дираковская волновая функция uN(x) удовлетворяет уравнению Дирака (14.1.10). Для нахождения электронного пропагатора в присутствии кулоновского поля воспользуемся формулой (14.2.15):

SÀ (x, y; E) = å

 

 

 

- å

 

 

 

 

uM (x)uM (y)

vM (x)vM (y)

,

EM - E - ie

EM + E - ie

M

M

 

где суммы в первом и втором слагаемых берутся по всем одноэлектронным и однопозитронным состояниям, соответственно. Интегралы по k0 легче всего взять, замкнув контур интегрирования большим полукругом в нижней полуплоскости для первого слагаемого, и в верхней полуплоскости — для второго:

X

0 F

 

1

 

I F

1

 

 

I

=

Y dk

G

 

 

 

 

 

J G

 

 

 

J

 

2

+ m

2

 

 

0

 

Z

H k

 

 

- ieK H EM m EN ± k

 

- ieK

 

=

 

i

p

 

F

 

1

 

I

 

 

 

G

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k2 + m2 H EM m EN

+

 

k2 + m2 - ieK

и поступив аналогично, когда m заменяется на нуль. Теперь сдвиг

энергии принимает вид

790

Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

 

 

[δEN ]низкие энергии

= −

e2

 

 

 

 

 

 

d3kå

2(2π)3 z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

× LΓr

 

 

(k)* Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

(k)F

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M MN

 

 

 

rMN

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G | k| (EM − EN + | k| − iε)

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ μ

2

 

 

 

(EM − EN +

 

 

 

 

2

 

+ μ

2

 

 

J

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

− iε)K

~r

 

 

 

 

* ~

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− ΓMN

(k)

ΓrMN (k)G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ EN + | k| − iε)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H | k| (EM

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I O

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

(EM + EN +

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

J P

 

 

 

 

k

 

+ μ

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

+ μ

 

 

− iε)K Q

− δme(μ)z d3x

 

N (x)uN (x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΓMNr

(k) ≡ z d3 ye-ik×y

 

 

M (y) γ ruN (y) ,

u

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(y) γ rvN (y) .

ΓMNr (k) ≡ z d3ye-ik×y vM

(14.3.28)

(14.3.29)

(14.3.30)

(Конечно, «сумма» по М в (14.3.28) означает вклады только от электронных состояний в первое слагаемое и только от позитронных состояний — во второе.)

Формулу (14.3.28) можно было бы вывести более непосредственно из старой теории возмущений: энергетические знаменатели

EM − EN + ω è EM + EN + ω возникают в результате вычитания

энергии EN начального состояния из энергии промежуточного состояния, содержащего либо электрон с энергией ЕÌ и фотон с энергией ω, либо позитрон с энергией ЕÌ, фотон с энергией ω è êàê

конечный, так и начальный электроны (см. рис. 14.2).

Прежде чем делать1 какие-то приближения в (14.3.28), удобно выразить временные компоненты матричных элементов ΓMNρ è Γ~MNρ

через соответствующие пространственные компоненты, используя

14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах

791

Рис. 14.2. Диаграммы старой теории возмущений для низкоэнергетической части сдвига энергии электрона. Сплошные прямые линии изображают электрон; волнистые динии — фотон; пунктирные линии пересекают линии частиц промежуточных состояний, соответствующих первым двум слагаемым правой части формулы (14.3.28)

соотношения *, следующие из закона сохранения электрического тока:

k

Γ i

(k) = (E

N

− E

M

)Γ0

(k) ,

(14. 3. 31)

i

MN

 

 

MN

 

 

k

~ i

(k) = (E

 

+ E

 

~

(k) .

(14. 3. 32)

Γ

N

M

)Γ0

i

MN

 

 

MN

 

 

Более того, используя соотношение полноты (14.1.8), можно непосредственно показать, что

å | ΓMN0

~

 

 

(k)|2 +| ΓMN0 (k)|2

= 1

(14.3.33)

M

è

* Чтобы получить (14.3.31), заметим, что kiGMNi (k) = -iz d3x e-ik×x Ñ × buM (x) γ uN (x)g

= iz d3x e-ik×x 0

 

e

 

M (x) g 0 uN (x)j e-i(EN -EM )x0

 

 

= (EN - EM )GMN0 (k).

 

 

 

 

u

 

x0 =0

 

 

 

 

 

Формула (14.3.32) выводится аналогично.

792 Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

å

 

| GMN0 (k)|2

~

(k)|2 (EM + EN )

 

 

 

 

 

 

(EM - EN ) - | GMN0

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= å

 

0*

 

~0*

 

~

(k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-GMN

(k) k × Γ MN (k) - GMN

(k) k × Γ MN

 

 

(14.3.34)

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -ik × z d3xuN (x) γ uN (x) = 0 ,

причем последнее равенство вытекает из условия четности (14.1.23). Таким образом, соотношение (14.3.28) можно переписать в виде

[δEN ]низкие энергии =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

X

 

 

 

L

 

 

 

Γ

 

 

 

 

k

2

-|

k

×

Γ

 

 

 

 

k

2

 

 

k2

j

= -

e

 

 

Y d3k

 

M

e|

 

 

 

 

MN ( )|

 

 

 

 

 

 

MN ( )|

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(2p)3 Y

 

 

åM M

 

 

 

 

 

 

| k| (EM - EN + | k| - ie)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- e|

Γ

 

 

k

 

2

- |

k

×

 

Γ

 

 

 

k

 

 

2

/(

k2

+ m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MN ( )|

 

 

 

 

 

 

 

MN

( )|

 

 

 

 

 

 

 

)j P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ m

2

 

(EM + EN +

 

 

 

 

 

2

+ m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

- ie) Q

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

L

~

 

 

 

 

 

 

k

 

2

 

 

k

 

~

 

 

 

 

 

k

2

k

2

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

e

 

 

 

Y d3k

 

 

M

e|

 

 

 

MN ( )| - |

 

 

 

 

MN ( )| /

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(2p)3 Y

 

 

 

åM M

 

 

 

 

| k| (EM + EN + | k| - ie)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

~

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- e|

 

 

k

 

2

 

 

 

k

 

 

 

 

 

k

 

 

2

 

 

k

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

Γ

MN

 

 

 

 

 

 

 

 

+ m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MN ( )| - |

 

 

 

 

 

( )| /(

 

 

 

 

 

)j P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ m

2

 

(EM + EN +

 

 

 

 

 

2

+ m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

- ie) Q

 

 

 

e2

 

X

3

kå|

~0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

F

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

Y d

GMN (k)|

 

G

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

2

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2p)

3

 

 

 

 

2

 

 

2

 

+ m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H k

 

 

k

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

(14.3.35)

 

 

 

am - dme(m)z d3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

1

 

N (x)uN (x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При получении предпоследнего слагаемого был использован элементарный интеграл

X

3

F

1

-

 

 

1

 

I

= 2mp

2

 

Y d

k G

 

 

 

 

 

 

J

 

.

 

2

 

2

+ m

2

 

Z

 

H k

 

 

k

 

 

K

 

 

 

14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах

793

До сих пор все преобразования были точным переписыванием формулы (14.3.28). Теперь следует сделать ряд приближений. Прежде всего рассмотрим перенормировку массы. В разделе 11.4 уже было вычислено значение dme(m) в порядке a. Оно равно:

 

 

2mep2e2 X1

 

F me2x2

+ m2 (1 - x)I

 

dme

(m) =

 

 

Y

dx (1

+ x) lnG

 

 

 

J .

(14.3.36)

(2p)

4

 

2

2

 

 

 

Z0

 

H

mex

 

K

 

Хотя в разделе 11.4 величина m рассматривалась как регуляризую-

щая масса, которую следовало считать много большей чем me, выражение (14.3.36) можно с тем же успехом использовать для вычисления значения dme(m) в интересующем нас сейчас случае m n me. Â

этом пределе формула (14.3.36) приводит к выражению:

 

 

 

 

 

 

 

αμ L

 

3μ

O

 

 

 

dme

(m) ®

 

M1

-

 

+ . . .P .

 

(14.3.37)

 

2

2pme

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

Q

 

 

Напомним, что при Za n функция uN(x) определяется форму-

ëîé (14.1.37):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

L(1 - σ × v 2 + . . . )f (x)O

 

uN

(x) =

 

M

 

 

 

 

N

P ,

(14.3.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 N(1 + σ × v 2 + . . . )fN (x)Q

 

где точки отмечают слагаемые более высокого порядка по Za, v − нерелятивистский оператор скорости −iÑ/me, à fN(x) − äâóõ-

компонентный спинор, являющийся решением нерелятивистского уравнения Шредингера, нормированный соотношением (14.1.38):

z d3x | fN (x)|2 = 1 -

1

(v2 )NN + . . .

(14.1.39)

4

Отсюда находим коэффициент при dme(m) в правой части (14.3.35):

z d3x

 

N (x)uN (x) = 1 -

1

(v2 )NN + . . .

(14.3.40)

u

2

Мы сразу же видим, что главное слагаемое в члене dme(m)òd3x`uNuN сокращает слагаемое am/2 в правой части (14.3.35). На самом деле,

Смотрите также файлы