ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 7028
Скачиваний: 12
4.1. Бозоны и фермионы |
229 |
случаях, независимо от того, принадлежат ли частицы одному сорту или нет *.
Нормировка этих состояний должна быть определена в согласии с указанными условиями симметрии. Чтобы сделать запись более компактной, будем использовать метку q для обозначения всех квантовых чисел отдельной частицы: ее импульса р, z−компоненты спина (или спиральности в случае безмассовых частиц) σ è
сорта n. Таким образом, N−частичное состояние |
будет обозначать- |
|||
ñÿ Φq ...q |
(вакуумному состоянию Φ0 отвечает N = 0). Для случаев N |
|||
1 |
N |
|||
= 0 и N = 1 вопрос о симметрии не возникает, поэтому |
||||
(Φ0 , Φ0 ) = 1, |
(4.1.3) |
|||
(Φq′ , Φq ) = δ(q |
′ |
− q), |
(4.1.4) |
|
ãäå δ(q′ − q) есть произведение всех дельта−функций и кронекеровских дельта−символов для квантовых чисел частиц:
δ(q′ − q) ≡ δ3 (p′ − p)δσ′σδn′n . |
(4.1.5) |
|||||||||||
С другой стороны, для N = 2 состояния Φq′ |
,q′ |
è |
Φq′ |
,q′ физически |
||||||||
1 |
2 |
2 |
1 |
|||||||||
одинаковы, поэтому здесь следует положить |
||||||||||||
dΦq′ |
,q′ |
, Φq |
,q |
′ |
′ |
′ |
′ |
− q2 ) , (4.1.6) |
||||
2 |
i = δ(q1 |
− q1)δ(q2 − q2 ) ± δ(q2 |
− q1)δ(q1 |
|||||||||
1 |
2 |
1 |
||||||||||
причем знак «минус» берется в случае, если обе частицы — фермионы, а знак «плюс» — во всех остальных случаях. Очевидно, что
* На самом деле, по тем же соображениям чисто условной является симметрия или антисимметрия вектора состояния при перестановке частиц одного сорта, но разных спиральностей или третьих проекций спина. Действительно, мы с самого начала можем договориться перечислять первыми импульсы всех фотонов со спиральностью +1, затем импульсы всех фотонов со спиральностью −1, затем импульсы всех электронов с проекцией спина на
ось z, равной +1, и т. д. Мы принимаем соглашение, что вектор состояния симметричен или антисимметричен при перестановке тождественных бозонов или фермионов разных спиральностей или z-компонент спина с целью облегчить использование инвариантности относительно вращений.
4. 2. Операторы рождения и уничтожения |
231 |
N |
|
a(q)Φq1q2 ...qN = å(±)r +1 δ(q − qr )Φq1 ...qr−1qr+1 ...qN , |
(4.2.3) |
r =1
где знаки +1 или −1 берутся, соответственно, для бозонов или
фермионов.
(Вот доказательство. Мы намерены вычислить скалярное про-
изведение |
a(q)Φq q |
...q |
N |
с произвольным состоянием Φq′ |
...q′ . Исполь- |
||||||||||||
1 2 |
1 |
M |
|||||||||||||||
зуя (4.2.1), находим: |
|||||||||||||||||
dΦq′ |
...q′ |
, a(q)Φq |
...q |
N |
i ≡ da† (q)Φq′ |
...q′ |
, Φq |
...q |
N |
i = dΦqq′ |
...q′ |
, Φq |
...q |
N |
i. |
||
1 |
M |
1 |
1 |
M |
1 |
1 |
M |
1 |
|||||||||
Теперь воспользуемся формулой (4.1.7). Сумма по перестановкам Р чисел 1, 2, ..., N может быть записана как сумма по целому числу r, которое переставляется на первое место, т. е. Pr = 1, и по отображениям P остальных целых чисел 1, ..., r −1, r + 1, ..., N â 1, ..., N – 1.
Далее, знаковый множитель равен
δP = (±)r −1δP ,
где верхний и нижний знаки относятся соответственно к бозонам и фермионам. Отсюда, второй раз используя (4.1.7), получаем:
1 M |
1 |
N |
N |
M |
i |
|||||||||||||||||
åå |
r −1 |
δ |
Õ |
′ |
||||||||||||||||||
dΦq′ ...q′ |
, a(q)Φq ...q |
i = δN,M+1 |
(±) |
δ(q − qr ) |
δ(qi |
− qP |
) |
|||||||||||||||
P |
||||||||||||||||||||||
i=1 |
||||||||||||||||||||||
r =1 P |
||||||||||||||||||||||
N |
||||||||||||||||||||||
= δN,M+1 |
å |
(±)r −1δ(q − qr )dΦq′ |
...q′ , Φq |
...q |
q |
r+1 |
...q |
N |
i. |
|||||||||||||
1 |
M |
1 |
r−1 |
|||||||||||||||||||
r =1
Таким образом, обе части (4.2.3) имеют одинаковый матричный элемент с любым состоянием, и поэтому равны друг другу, что и требовалось доказать.)
Как частный случай (4.2.3), отметим, что и для бозонов, и для фермионов оператор a(q), действуя на вакуум, дает нуль:
a(q)Φ0 = 0. |
(4.2.4) |
232 |
Глава 4. Принцип кластерного разложения |
|
Так определенные операторы рождения и уничтожения удовлетворяют важным соотношениям коммутации или антикоммутации. Применяя оператор a(q′) к состоянию (4.2.1) и используя (4.2.3),
получаем:
a(q′)a† (q)Φq |
...q |
= δ(q′ − q)Φq |
...q |
N |
||||||
1 |
N |
1 |
||||||||
N |
′ |
|||||||||
+ å(±) |
r +2 |
δ(q |
− qr )Φqq1 |
...qr −1qr +1 |
...qN . |
|||||
r =1
(Знак во втором слагаемом равен (±)r+2, òàê êàê qr находится на
(r+1)-м месте в Φqq1 ...qN .) С другой стороны, применяя оператор a†(q)
к (4.2.3), находим:
N |
|||||||||
a |
† |
′ |
...qN |
= å(±) |
r +1 |
′ |
− qr )Φqq1 |
...qr−1qr+1 |
...qN . |
(q)a(q )Φq1 |
δ(q |
||||||||
r =1 |
Вычитая или складывая, получаем
a(q′)a† (q) m a† (q)a(q′) |
Φq |
...q |
N |
= δ(q′ − q)Φq |
...q |
. |
1 |
1 |
N |
Но это верно для всех состояний (и, как нетрудно показать, верно также для состояний, содержащих и бозоны, и фермионы). Поэтому отсюда вытекает операторное соотношение
a(q′)a† (q) m a† (q)a(q′) = δ(q′ − q). |
(4.2.5) |
||||||||||
Кроме того, из (4.2.2) немедленно следует, что |
|||||||||||
† |
′ |
† |
(q) |
m |
† |
† |
′ |
) |
= |
0 , |
(4.2.6) |
a |
(q )a |
a |
(q)a |
(q |
|||||||
а также |
|||||||||||
a(q′)a(q) m a(q)a(q′) = 0 . |
(4.2.7) |
||||||||||
Как всегда, верхний и нижний знаки относятся к бозонам и фермионам, соответственно. Согласно обсуждавшимся в предыдущем разделе условиям, операторы рождения и/или уничтожения для