Файл: ТВ и МС метод..doc

Формула полной вероятности и формула Байеса

Набор событий называется полной группой событий, если они попарно несовместны и их сумма составляет достоверное событие:

.

Теорема 1 (формула полной вероятности). Пусть - полная группа. Тогда для любого события .

Теорема 2 (формула Байеса). Пусть даны - полная группа и некоторое событие. Тогда для любого условная вероятность события при условии, что событие произошло, задаётся формулой .

Дискретная случайная величина и её характеристики

Функция , заданная на пространстве элементарных событий , называется случайной величиной.

Случайная величина называется дискретной, если пространство элементарных событий не более чем счётно. Будем обозначать . Значение случайной величины наступает с некоторой вероятностью .

Соответствие, которое каждому значению дискретной случайной величины сопоставляет его вероятность , называется законом распределения случайной величины . При этом . Закон распределения удобно задавать в виде таблицы:

Функция , , называется функцией распределения случайной величины .

Для дискретных случайных величин .

Свойства функции распределения

1. ;

2. .

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют число .

Свойства математического ожидания

1. , если - постоянная;

2. , если - постоянна;

3. ;

4. , если и независимы.

Дисперсией случайной величины называют число

.

Свойства дисперсии

1. ;

2. , если - постоянна;

3. , если - постоянна;

4. , если и независимы.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют число .

Непрерывная случайная величина и её характеристики

Случайная величина называется непрерывной, если на числовой прямой существует интервал, который целиком принадлежит множеству значений этой случайной величины.

Если функция распределения случайной величины представима для каждого в виде ,

то функция , , называется плотностью распределения вероятностей случайной величины .

Свойства плотности распределения вероятности

1. ;

2. ;

3. ;

4. , если непрерывна в точке .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле .

Законы распределения случайных величин

1. Биномиальное распределение. Пусть - случайная величина, равная числу появлений события в серии из независимых повторных испытаний, где вероятность появления события равна . Тогда величина имеет биномиальное распределение с параметрами и , а вероятности определяются формулой Бернулли (это дискретная случайная величина): .

Математическое ожидание и дисперсия определяются формулами:

.

2. Распределение Пуассона. (это дискретная случайная величина) Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , если

Математическое ожидание и дисперсия равны .

3. Равномерное распределение. (это непрерывная случайная величина) Плотность равномерного распределения при имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия определяются формулами:

.

4. Нормальное распределение. (это непрерывная случайная величина) Плотность нормального распределения с параметрами и имеет вид: .

Математическое ожидание и дисперсия равны:

соответственно.

Предельные теоремы теории вероятностей

Закон больших чисел. Если проводится независимых одинаковых случайных экспериментов, в каждом из которых может наступить или не наступить событие , то частота появления этого события будет стремиться к вероятности этого события.

Предельные формулы для схемы Бернулли

Приближённая формула Пуассона:

.

Формула применяется при больших и маленьких .