Файл: Anatolyev-lectures.pdf

d

Un + Vn ! U + V;

d

UnVn ! UV;

U 1V d U 1V , если P r det(U ) = 0 = 0:

n n ! f n g

Ещё раз обратим внимание на тот факт, что в теореме Слуцкого одна последовательность должна сходиться по вероятности к константе. Если это не так, то

теорема, вообще говоря, не верна. Следующий пример демонстрирует это.

Пример. Пусть случайная величина Z имеет стандартное нормальное распределение, т.е. Z N(0; 1). Рассмотрим две последовательности случайных величин:

Z. Однако, fZn + Xng = f2Z; 0; 2Z; 0; 2Z; : : : g. Таким образом, последовательность суммы случайных величин не сходится вообще никуда, т.е. теорема Слуцкого неприменима.

Теорема (Дельта Метод). Пусть последовательность случайных векторов Z раз-

константа, а функция g: Rk ! Rl непрерывно дифференцируема в точке Z. Тогда

@g(z) j

где G = @z0 z=Z.

Примеры 1 и 2 демонстрируют применение теоремы Манна–Вальда и Дельта Ме-

тода на практике.

10

т.е. интересующая нас величина имеет распределение Коши. Применяя же Дельта

5Предельные теоремы для независимых наблюдений

Основными инструментами построения статистических выводов в асимптотическом подходе являются Законы Больших Чисел (ЗБЧ) и Центральные Предельные Теоремы (ЦПТ). ЗБЧ представляет собой результат о сходимости выборочного среднего к популяционному среднему, ЦПТ дает представление о предельном распределении определенным образом нормированного центрированного выборочного среднего. Существует довольно большое количество формулировок ЗБЧ и ЦПТ. Нас будут интересовать предельные теоремы для двух основных случаев: случай независимых наблюдений и случай стационарных эргодичных временных рядов. Далее приводятся ЗБЧ и ЦПТ для независимых или серийно нескоррелированных скалярных случайных величин.

Теорема Колмогорова (независимые одинаково распределенные наблюдения). Пусть случайные величины fZig1i=1 независимы и одинаково распределены. Кроме того, пусть существует математическое ожидание EjZij. Тогда

Теорема Колмогорова (независимые неоднородные наблюдения). Пусть слу-

Теорема Чебышева (нескоррелированные наблюдения). Пусть случайные ве-

личины fZig1 нескоррелированы, т.е. Cov(Zi; Zj) = 0 для i 6= j. Если 1 Pn 2 !

i=1 n2 i=1 i n!1

11

Теорема Линдберга-Леви (независимые одинаково распределенные наблюдения). Пусть случайные величины fZig1i=1 независимы и одинаково распределены с математическим ожиданием E[Zi] = и дисперсией V ar[Zi] = 2. Тогда:

Теорема Ляпунова (независимые неоднородные наблюдения). Пусть случайные величины fZig1i=1 независимы с математическим ожиданием E[Zi] = i, дисперсией V ar[Zi] = i2 и третьим центральным моментом E[jZi ij3] = i. Тогда, если

P

6Асимптотические статистические выводы

Идея построения статистических выводов при помощи асимптотического метода довольно очевидна. Вместо точного распределения оценки берется асимптотическое, на основании которого строятся распределения тестовых статистик.

В данном случае мы имеем дело с выборочным средним Zn, которое согласно ЦПТ имеет асимптотически нормальное распределение. Заметим, что в данном случае распределение зависит от неизвестного параметра 2, поэтому статистика Zn является

асимптотически непивотальной статистикой.

Определение. Статистика называется (асимптотически) пивотальной, если ее (асимптотическое) распределение не зависит от неизвестных параметров.

Возвращаясь к нашему примеру, мы можем получить пивотальную статистику,

12

ки можно построить доверительный интервал. Так асимптотический доверительный интервал для будет

Предположим теперь, что нам нужно протестировать гипотезу H0 : = 0. Согласно построенному нами -процентному доверительному интервалу гипотеза будет

7Асимптотика для стационарных временных рядов

До сих пор мы рассматривали асимптотические свойства оценок в случае независимых наблюдений, и если у нас есть последовательность Z1, Z2, Z3, : : :, Zn, мы могли сказать, что у нас имеется n наблюдений. В случае временных рядов (наблюдений во времени) это, вообще говоря, не так. Каждая траектория Z1; Z2; Z3; : : : ; ZT

представляет собой в общем случае одно наблюдение, а из одного наблюдения делать статистические выводы проблематично. Поэтому на природу исходных данных приходится накладывать какую-то структуру. Часто для этого используются предположения о стационарности и эргодичности ряда. Грубо говоря, стационарность

– это “стабильность” распределения Zt во времени, а эргодичность – это “потеря памяти”, или “асимптотическая независимость от начальных данных”. Дадим более четкие определения:

Определение. Временной ряд называется строго стационарным, если совместное распределение Zt; Zt 1; : : : ; Zt k не зависит от t для любых k.

Поскольку точное определение эргодичности использует понятия теории меры, дадим интуитивное определение:

“Определение”. Временной ряд Zt называется эргодичным, если Zt и Zt+k асимптотически независимы при k ! 1.

13