Файл: Anatolyev-lectures.pdf

Состоятельная оценка асимптотической дисперсии в этом случае равна

7Регрессия с неслучайной выборкой

В случае, когда наблюдения представляют собой неслучайную выборку, дисперсионная матрица ошибок = V ar[yjX] не является диагональной. Дисперсия МНКоценки b = (X0X) 1X0y в этом случае есть

Var[bjX] = (X0X) 1X0 X(X0X) 1;

адисперсия ОМНК-оценки e = (X0 1X) 1X0 1y есть

V ar[ejX] = (X0 1X) 1:

Чтобы построить пивотальную статистику в случае неслучайных наблюдений, необходимо параметризовать дисперсионную матрицу ошибок небольшим числом параметров.

8МНК и ОМНК в регрессиях на временных рядах

Рассмотрим следующую регрессионную модель:

yt = x0t + et; E[etjIt 1] = 0; E[e2t jIt 1] = 2(It 1);

где f(xt; yt)gTt=1 – стационарный и эргодичный процесс, а

It 1 = fyt 1; yt 2; : : : ; xt; xt 1; : : :g:

Примерами таких моделей могут служить:

Модель AR(p), где xt = (yt 1; yt 2; : : : ; yt p)0.

Линейное предсказание обменного курса:

st+1 st = + (ft st) + et; E[etjIt 1] = 0;

где ft – цена форвардного контракта, а st – текущий обменный курс.

43

Линейное предсказание инфляции:

t+1 = + it + et; E[etjIt 1] = 0;

где t+1 – инфляция, а it – процентная ставка.

Заметим, что условное математическое ожидание E[Y jX] не есть X , поэтому не следует ожидать хороших свойств в конечных выборках. Рассмотрим асимптотические свойства МНК- и ОМНК-оценок.

МНК-оценка. Ясно, что МНК-оценка состоятельна:

T! 1 T

Это следует из того, что:

E[xtet] = E[E[xtetjIt 1]] = E[xtE[etjIt 1]] = 0:

Кроме того, из центральной предельной теоремы для последовательностей мартингальных приращений следует асимптотическая нормальность МНК-оценки:

где Qxx = E[xtx0t], Qe2xx = E[xtx0te2t ]: Недиагональные элементы матрицы Qe2xx равны 0, поскольку

E[xtetx0t jet j] = E[E[xtetx0t jet jjIt 1]] = E[xtE[etjIt 1]x0t jet j] = 0:

ОМНК-оценка. ОМНК-оценка в моделях без серийной корреляциии в ошибках, очевидно, тоже будет состоятельна и асимптотически нормальна. Выглядит ОМНКоценка следующим образом:

На практике ОМНК-оценка редко используется во временных рядах, поскольку требует знания или состоятельного оценивания скедастичной функции 2(It 1), которая в принципе может зависеть от бесконечной предыстории It 1.

Теперь рассмотрим регрессионную модель на временных рядах более общего вида, с возможностью серийной корреляции в ошибках:

yt = x0t + et; E[etjIt q] = 0; E[e2t jIt q] = 2(It q);

где It q = fyt q; yt q 1; : : : ; xt; xt 1; : : :g. Примерами таких моделей могут служить:

44

Модель ARMA(p; q), где xt = (yt q; yt q 1; : : : ; yt q p+1)0.

Линейное предсказание обменного курса:

st+q st = + (ft;q st) + et; E[etjIt q] = 0;

где ft;q – цена форвардного контракта на q периодов вперед, а st – текущий обменный курс.

Линейное предсказание инфляции:

t+q = + it;q + et; E[etjIt q] = 0;

где t+q – инфляция, а it;q – процентная ставка на q периодов вперед.

МНК-оценка.

T! 1 T

XX

b = xtx0t xtyt:

t=1 t=1

Оценка остается состоятельной и асимптотически нормальной, т.е.

но матрица Qe2xx считается по формуле

q 1

X

Qe2xx = E[xtx0te2t ] + (E[xtx0t jetet j] + E[xtx0t+jetet+j]): j=1

Сумма содержит конечное число компонент 2q 1, ибо для j > q 1

E[xtx0t jetet j] = E[E[xtXt0 jetet jjIt q]] = E[xtx0t jE[etjIt q]et j] = 0:

Чтобы состоятельно оценить асимптотическую дисперсию МНК-оценки V в случае серийной корреляции ошибок, можно воспользоваться, например, формулой НьюиУэста.

ОМНК-оценка. ОМНК-оценка не используется в моделях с серийной корреляцией ошибок. Заметим,что в этом случае

45

VЛинейные модели с инструментальными переменными

1Эндогенные переменные

Бывают случаи, когда условное среднее E[yjx] не является интересующим нас объектом. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Пусть E[yjx ] = (x )0 , однако переменные x являются ненаблюдаемыми. Вместо них исследователь наблюдает переменные x = x + u, где u – независима от x и y. В этом случае МНК-оценка будет несостоятельной:

y = (x )0 + e = (x u)0 + e = x0 + v; v = e u0 ;

Таким образом, МНК-оценка не состоятельна ни для 1, ни для 2, а состоятельна для чего-то среднего между ними:

46

В обоих примерах переменные, коррелирующие с ошибками, являются эндогеными,

иМНК-оценивание несостоятельно.

Определение. Переменная x в правой части структурного уравнения y = x0 + e

называется эндогенной, если E[ejx] 6= 0.

Определение. Переменная z называется экзогенной для структурного уравнения y = x0 + e, если E[ejz] = 0. В этом случае z может использоваться как инструмент

для оценивания параметров уравнения.

Заметим, что в обычной регрессии условного среднего регрессоры являются экзогенными переменными, т.е. для модели

y = x0 + e; E[ejx] = 0

z = x является экзогенной переменной. МНК как раз и использует её как инструмент.

2Точная идентификация

Рассмотрим случай, когда количество инструментов l совпадает с количеством “регрессоров” k (случай точной идентификации). Пусть матрица Qzz = E[zz0] невырождена. Из определения инструментов следует, что E[ze] = 0: Это условие называется

условием валидности инструментов. Применяя к нему принцип аналогий, получим

n

1 Xzi(yi x0i bIV ) = 0; n

i=1

откуда получаем инструментальную оценку

n! 1 n

XX

bIV = zix0i ziyi: i=1 i=1

В матричном виде инструментальная оценка выглядит следующим образом:

bIV = (Z0X) 1Z0Y; Z = (z10 ; z20 ; : : : ; zn0 )0:

В конечных выборках инструментальная оценка смещена, однако является состоятельной и асимптотически нормальной:

b

где Qzx = E[zx0], Qe2zz = E[e2zz0]. Заметим, что вышеприведённая асимптотика справедлива только при выполнении условия релевантности: матрица Qzx должна быть

47