Файл: Глава 2.doc

Соответственно, производные по времени от этих величин будут.

Частные производные от функции L по углу ибудут:

Подставляя найденные производные в (2.21), получим два дифференциальных уравнения, описывающих движение двухмассовой системы.

(2.22)

Здесь - момент в упругом звене.

Физический смысл уравнений (2.22) уясняется из рассмотрения рис.2.9. Момент на валу двигателя М прикладывается к левому концу упругого элемента, вызывая его закручивание, что определяет появление упругого момента М_у. Разность моментов прикладывается к первой массеJ₁, определяя изменение скорости ее движения. Таким образом, первое из уравнений (2.22) – это уравнение движения электропривода для первой массы.

На втором конце упругого звена, стремящимся раскрутиться, создается момент М_у, который является движущим моментом для второй массы – рабочего органа машины. Этому моменту препятствует момент сопротивления движению М_С, прикладываемый к рабочему органу.

Разность моментов определяет изменение скорости второй массы. Второе из уравнений (2.22) есть уравнение движения электропривода для второй массы.

Решая совместно уравнения (2.22) и учитывая, что

и - угол закручивания, найдем:

(2.23)

Левая часть этого уравнения представляет собой уравнение идеального колебательного звена которое имеет период собственных колебанийи частоту собственных колебаний

---

(2.24)

Решение уравнения (2.23) - переходная функция двухмассового механического звена с упругостью – будет:

Таким образом, в первом приближении если мы не учитываем внутренние потери энергии (на вязкое трение, упругую деформацию), то двухмассовая механическая система, как объект регулирования представляет собой колебательное звено. Это означает, что если мы приложим к системе постоянный момент (например, при пуске двигателя), то механическая система будет иметь незатухающие колебания скорости около некоторого ее значения, определяемого средним ускорением(см.рис.2.10а).

Энергетически колебательность рассмотренной механической системы связана с тем, что периодически кинетическая энергии вращающихся масс переходит в потенциальную энергию, запасаемую в упругом элементе.

На основе уравнений (2.22), выразив их в операторной форме, можно составить структурную схему двухмассовой механической системы с упругим звеном (см.рис.2.11а). При составлении схемы учтем, что упругий момент равен .

Для того, чтобы получить передаточную функцию двухмассовой системы как объекта регулирования проведем преобразование структурной схемы, как показано на рис. 2.11б,в. Отсюда следует

. (2.25)

Таким образом, двухмассовая механическая система при отсутствии внутренних потерь (внутреннего демпфирования) может быть интерпретирована двумя последовательно соединенными динамическими звеньями: интегрирующим и колебательным. Переходная характеристика такой системы была показана на рис.2.10а.

Заметим, что, если жесткость С упругого звена достаточно велика, то механическая система может считаться жесткой и приводится к одномассовому механическому звену. При возрастании С второй член выражения (2.25) стремится к единице.

Важный практический вывод из анализа динамических свойств двухмассовой механической системы состоит в следующем. Если в составе момента двигателя или в составе статического моментаприсутствует периодическая составляющая с частотой, близкой к частотесобственных колебаний механической системы, то в системе возникают колебания с возрастающей амплитудой (явление резонанса), что может нарушить работу механизма и привести к его поломке.

---

Поэтому при конструировании электромеханических систем, склонных к колебаниям, необходимо определить собственную частоту колебаний механической системы и проанализировать, могут ли со стороны привода (моментМ) или механизма (момент М_С) возникнуть колебания с частотой, близкой к . В случае такого совпадения нужно развести частоты – изменить значение частоты собственных колебаний механической системы путем изменения соотношения моментов инерцииJ₁ и J₂.

В реальных механических системах всегда присутствует внутреннее демпфирование, определяемое вязким трением и потерями при деформации упругого элемента [2]. Момент сил вязкого трения пропорционален скорости. С учетом этих сил уравнения (2.22) примут вид.

(2.30)

где: - коэффициенты вязкого трения на соответствующих валах.

При учете вязкого трения колебания в двухмассовой механической системе будут носить затухающий характер (см. рис.2.10б).

В общем виде [1-2] механическая часть электромеханической системы представляет собой многомассовую систему с упругими звеньями и нелинейностями, обусловленными наличием зазоров и сухого трения. Чаще всего при анализе механических систем нет необходимости в полном учете всех факторов. В тех же случаях, особенно в прецизионных системах, когда необходим полный учет нелинейностей системы и внутреннего демпфирования целесообразно использовать математическое моделирование механической системы на ЭВМ.

---

2.6. Динамические характеристики механической системы с подвешенным грузом

Необходимость рассмотрения механической системы как двухмассовой может возникнуть не только при наличии в кинематической схеме упругих элементов, но и в том случае, когда механическая система включает в себя груз, подвешенный на канате. Рассмотрим такую систему на примере механизма поворота башен-ного крана. Груз массойm (рис.2.12) подвешен через шкив А на канате длиной Н. Стрела крана длиной R вращается в горизонтальной плос-кости. При разгоне стрелы груз будет отставать от вращательного движения стрелы, при замедлении – опережать стрелу. При равномерном движении стрелы груз будет совершать коле-бательные движения. При останове стрелы груз будет раскачиваться, что неблагоприятно сказывается на управлении краном. Во избежание этого явления в системе управления приводом поворота крана предусматриваются специальные меры (см.главу 27).

Для описания движения механической системы, показанной на рис.2.12, воспользуемся методом, изложенным в предыдущем параграфе.

Функция Лагранжа для данной системы будет

Здесь - момент инерции крана,

- угловая скорость вращения стрелы крана,

- угловая скорость колебаний каната относительно точки А,

- линейная скорость груза (касательная по отношению к окружности его вращения).

Полагая , найдем

(2.30)

Так как груз совершает движение в двух координатах: вращательное относительно вертикальной оси крана и колебательное относительно вертикальной линии отвеса каната, то нужно составить два уравнения Лагранжа для каждой из координат.

Найдя частные производные:

---

и подставив их в уравнение (2.21) получим систему из двух дифференциальных уравнений, описывающих движение груза.

(2.31)

Здесь М – момент на валу механизма поворота стрелы;

М_С- момент сопротивления движению стрелы.

Поскольку , то, решив систему (2.31) относительноα, получим

(2.32)

- период колебаний груза, подвешенного на канате.

41

---