Файл: Глава 2.doc

2.4. Динамические характеристики жесткого механического звена

Механическая часть электропривода включает в себя: ротор (якорь) электродвигателя, рабочий орган машины и систему механических передач и трансмиссий. Если все элементы механической части во всех движениях имеют равную или пропорциональную скорость (вращения или линейную), то такая механическая система может рассматриваться как жесткая. В этом случае, пользуясь формулами приведения параметров к валу двигателя, можно рассматривать систему как жесткое механическое звено с суммарным приведенным моментом инерции J_Σ и для анализа ее динамических характеристик пользоваться уравнением движения электропривода (2.8). Такую механическую систему называют одномассовой.

В операторной форме уравнение (2.8) имеет вид:

(2.14)

Назначение электропривода – создавать движение механической системы и регулировать ее скорость. Объектом регулирования выступает механическое звено электропривода, характеризуемое приведенным моментом инерции J_Σ, регулируемым (выходным) параметром является скорость жесткого механического звена ω, регулирующим (управляющим) воздействием – момент двигателя М, возмущающим воздействием – статический момент М_с. Структурная схема жесткого механического звена показана на рис.2.5. Передаточная функция жесткого механического звена находится из уравнения (2.14):

(2.15)

Этому звену соответствует дифференциальное уравнение

(2.16)

т.е. уравнение, отражающее второй закон Ньютона. Раз-ность моментов: двигателя и статического, т.е. результи-рующий момент, приклады-ваемый к инерционной массеJ_Σ, называют динамическим моментом М_дин.

Таким образом, механическая часть электропривода, если она представлена жестким приведенным механическим звеном, имеет динамическую характеристику интегрирующего звена. Если результирующий динамический момент на входе механического звена (см.рис.2.5) равен нулю, то механическая система находится в состоянии равномерного движения, в частном случае - в состоянии покоя (вспомним первый закон Ньютона). Интегрирующее звено обладает свойством «запоминания». Если на входе звена М_дин=0 – это не значит, что ω=0; определить по входному сигналу величину выходного в данном случае нельзя. Для этого нужно знать предысторию процесса, т.е. знать ту скорость, которую имела инерционная масса J_Σ до того, как М_дин стал равным нулю.

---

Если М_дин есть величина постоянная и положительная, то скорость механического звена линейно возрастает с постоянным угловым ускорением Ускорение будет продолжаться до тех пор, покаМ_дин не станет равным нулю. При отрицательном значении М_дин механическое звено будет замедляться (если начальная скорость не была равна нулю).

Решением дифференциального уравнения (2.16) для случая, т.е. при условииибудет:

. (2.17)

Формула (2.17) отражает переходную функцию жест-кого механического звена (см.рис.2.6).

Если электромагнитный момент двигателя линейно изменяется с изменением скорости (рис.2.7)

, (2.18)

а статический момент остается постоянным , то уравнение (2.16) будет иметь вид:

Рис.2.7. Переходная характеристика механического звена при линейно изменяющемся динамическом моменте

После приведения уравнения к каноническому виду получим:

(2.19)

где: ;

ω₀ - скорость, при которой момент двигателя равен 0;

- электромеханическая постоянная времени.

В рассматриваемом случае зависимость изменения скорости от времени ω=f(t) носит характер экспоненты (см.рис.2.7). В начальный момент времени ускорение двигателя будет наибольшим, равным . По мере уменьшения динамического момента ускорение будет уменьшаться: когда момент двигателя и статический момент сравняются, ускорение будет равно нулю, и механическое звено будет вращаться с постоянной скоростью. Заметим, что за времяТ_М скорость двигателя увеличивается на 63% от ее установившегося значения (см.рис.2.7).

---

Электромеханическая постоянная времени Т_М – это время, в течение которого механическое звено с массой J_Σ разгоняется от нулевой до установившейся скорости под действием постоянного динамического момента, равного моменту при нулевой скорости. Величина Т_М характеризует динамические свойства механического звена. Для одного и того же двигателя, имеющего линейную характеристику зависимости момента двигателя от скорости М=f(t), рассмотрим для примера три процесса (см.рис.2.8):

Первый – разгон двигателя от 0 до ω_уст=ω₀ без нагрузки (М_с=0);

Второй – разгон двигателя от 0 до ω_уст=ω₀-Δω_с;

Третий – изменение статического момента от М_с.нач до М_с.кон и связанное с этим изменение скорости от ω_нач до ω_уст.к.

Хотя, на первый взгляд, это может показаться странным, время разгона двигателя вхолостую и под нагрузкой и время перехода с одной скорости на другую при изменении нагрузки оказываются равными и составляют примерно 3-4Т_М.

Поскольку является важным параметром для оценки динамических свойств механического звена, то его передаточную функцию часто представляют, используя этот параметр. Заменив в (2.15)J_Σ на , получим:

. (2.20)

---

2.5. Динамические характеристики многомассовой механической системы

Во многих случаях кинематическая схема рабочей машины содержит упругие элементы: длинные валы, торсионы, упругие муфты, текстропные, канатные передачи и др.). В реальных схемах иногда приходится учитывать люфты и зазоры в зубчатых передачах и соединениях. В этих случаях кинематическую схему нельзя рассматривать как жесткую одномассовую систему. В особенности это касается высокоточных электроприводов и электроприводов, работающих в интенсивных динамических режимах.

Механические системы, в которых присутствуют явно выраженные упругие звенья, обычно приводят к двухмассовым или трехмассовым механическим системам. Рассмотрим двухмассовую электромеханическую схему (рис.2.9). В неразветвленной кинематической схеме обычно выделяют ротор двигателя и жестко связанные с нем элементы кинематической цепи. Приводя моменты инерции этих звеньев к скорости вала двигателя, получим первую массу J₁. Эта масса связана посредством упругого элемента, имеющего жесткость С, со второй массой J₂, которую образуют моменты инерции рабочего органа и жестко связанных с ним остальных элементов кинематической цепи.

Для составления расчетной механической схемы все моменты инерции звеньев, приложенные к ним моменты сопротивления движению М_Сi, упругость элементов и величины зазоров должны быть приведены к скорости вала двигателя. В упругом элементе возникают упругие моменты (усилия), которые выражаются законом Гука:

Для вращательного движения - ,

где: С – жесткость элемента, Н/рад;

- угол закручивания элемента (например, торсиона), рад;

Для поступательного движения ,

где: - растяжение элемента, м (С имеет размерность Н/м).

При деформации упругого элемента в нем запасается потенциальная энергия, которая соответственно для вращательного и поступательного движения равна:

---

Для приведения жесткости элемента к валу двигателя используется принцип равенства потенциальных энергий:

Если упругий элемент связан с поступательным движением, то его жесткость приводится по формуле

Будем считать (см. расчетную схему рис.2.9), что все элементы кинематической цепи приведены по своим параметрам к валу двигателя и разделены на две массы J₁ и J₂, связанные между собой упругим элементом с жесткостью С. К первой массе приложен момент двигателя М, ко второй – статический момент М_С.

Если затормозить второй вал, то возможно вращение первого вала в пределах, определяемых диапазоном упругой деформации элемента С. Если затормозить первый вал, то возможно с учетом указанного ограничения вращение второго вала. Таким образом, в отличие от одномассовой жесткой механической системы двухмассовая система обладает двумя степенями подвижности.

При анализе механических систем с двумя и более степенями подвижности целесообразно пользоваться математическим аппаратом, определяемым вторым уравнением Лагранжа:

(2.21)

Здесь - перемещение (угол поворота по каждой изi степеней подвижности);

- скорость перемещения (угловая скорость по каждой координате перемещения);

- внешние силы, действующие по каждой степени подвижности.

- функция Лагранжа, разность кинетической и потенциальных энергий данной механической системы.

Рассмотрим описание двухмассовой механической системы с упругим звеном на основе уравнения (2.21):

Поскольку система обладает двумя степенями подвижности, то получим на основе (2.21) два уравнения.

Частные производные от функции L по скоростям ибудут:

---