ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.01.2025
Просмотров: 123
Скачиваний: 1
6
1 |
|||
y e |
|||
1 x |
|||
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию |
. В случае |
||
разрыва определить тип точки разрыва. |
|||
Решение. Функция элементарна, следовательно, непрерывна во всей своей
x ( ;1) (1; ) |
|
области определения, то есть, в промежутке |
. |
В точке x=1 функция терпит разрыв, так как она в этой точке не определена. Определим тип разрыва, для этого вычисляем предел функции
при условии, что x→1-0
1 |
1 |
|||||||
lim e |
| x 1 1 x 0 | e |
e , |
||||||
1 x |
0 |
|||||||
x1 0 |
||||||||
и при условии, что x→1+0 |
||||||||
1 |
1 |
|||||||
lim e |
| x 1 1 x 0 | e |
e 0 . |
||||||
1 x |
0 |
|||||||
x1 0 |
||||||||
Как видим, предел слева равен ∞, следовательно, x=1 точка разрыва второго рода. Геометрически это означает, что график заданной функции имеет вертикальную асимптоту. График функции вблизи точки разрыва изображен на рисунке 10.3.
y
e
1
0
o 1
x
Рис. 10.3
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию
sin x, |
если |
x 0, |
||
x, |
если |
0 x 1, |
||
f (x) |
||||
если |
x 1. |
. |
||
x 1, |
||||
7
В случае разрыва определить тип точки разрыва.
Решение. Функция не является элементарной. Она элементарна на каждом из промежутков (-∞;0), (0;1) и (1;+∞). Следовательно, непрерывна в каждом из этих промежутков. Исследуем каждую из точек x=0 и x=1 на непрерывность.
Точка x=0. |
||||
1. |
f(0)=0. |
|||
2. |
lim |
f (x) | x 0 | |
lim sin x 0. |
|
x 0 0 |
x 0 0 |
|||
lim |
f (x) | x 0 | |
lim x 0. |
Пределы справа и слева равны, |
|
x 0 0 |
x 0 0 |
|||
следовательно, существует предел функции lim f (x) 0.
x 0
3. lim f (x) f (0).
x 0
Все условия непрерывности выполнены, следовательно, в точке x=0
функция непрерывна. |
||||||||
Точка x=1. |
||||||||
1. |
f(1)=1. |
|||||||
2. |
lim |
f (x) | x 1| lim x 1. |
||||||
x 1 0 |
x 1 |
|||||||
lim |
f (x) | x 1| lim(x 1) 2. |
Пределы справа и слева |
||||||
x 1 0 |
x 1 |
|||||||
существуют, конечны и не равны друг другу, следовательно, в точке x=1 |
||||||||
функция терпит разрыв первого рода. График функции изображен на |
||||||||
рисунке 10. 4. |
y |
|||||||
2 |
o |
|||||||
1 |
||||||||
O |
1 |
x |
Рис. 10.4. |
|||||
8
10.5.Свойства функций непрерывных на отрезке
Определение 6. Функция y=f(x) непрерывна на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Свойство 1. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке.
Свойство 2. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения
M.
Свойство 3. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка cϵ(a;b), такая что f(с)=0.