ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2025
Просмотров: 22
Скачиваний: 0
2.3. Экономико-математическое моделирование
основных финансово - экономических показателей ЗАО
Важным направлением в исследовании закономерностей социально-экономических процессов является изучение общей тенденции развития. Прогнозирование - это метод, в котором используются накопленный в прошлом опыт и текущие допущения на счет будущего в целях его определения. Если прогнозирование выполнено качественно, то результатом станет картина будущего, которую можно использовать как результат планирования.
Существует много методов прогнозирования, среди которых можно выделить метод анализа временных рядов. Он основан на допущении, согласно которому случившееся в прошлом дает достаточно хорошее приближение в оценке будущего.
Изменение уровней рядов динамики обусловливаются влиянием на изучаемое явление ряда факторов, которые неоднородны по силе, направлению и времени их действия. Постоянно действующие факторы оказывают на изучаемые явления определяющее влияние и формируют в рядах динамики основную тенденцию развития (тренд). Воздействие других факторов проявляется периодически.
Различные результаты действия постоянных, периодических и разовых причин и факторов на уровни развития социально-экономических явлений во времени обусловливают необходимость изучения основных компонентов ряда динамики: тренда, периодических колебаний, случайных отклонений.
Особенностью изучения развития социально-экономических процессов во времени является то, что в одних рядах динамики основная тенденция роста проявляется при визуальном обзоре исходной информации, в других рядах динамики общая тенденция развития непосредственно не проявляется. Она может быть выражена расчетным путем в виде некоторого теоретического уровня.
При изучении в рядах динамики основной тенденции развития (тренда) решаются две взаимосвязанные задачи:
- выявление в изучаемом явлении наличия тренда с описанием его качественных особенностей;
- измерение выявленного тренда, то есть получение обобщающей количественной оценки основной тенденции развития.
Подбор аппроксимирующей функции по результатам наблюдения.
Наносим наблюдаемые значения на график. По виду графика подбираем вид аппроксимирующей функции. Для нашего примера в большей степени подходит линейная функция. Итак, принимаем гипотезу о том, что наблюдаемые значения описываются линейной моделью.
у = а + β*Х , где а и β являются параметрами данной модели.
Определение параметров модели.
Параметры модели определяются методом наименьших квадратов
Суть метода: min ∑е²i = min ∑ (уi - у);
dS / dα = -2∑y+2nα+2β∑x =0
dS / dβ = -2∑ух+2α∑х+2β∑х² =0
Система нормальных уравнений:
nα+ β∑x = ∑y
α∑x + β∑х² = ∑xy
α + β*xср = yср
α*xср + β (х²)ср = (xy)ср
С помощью системы уравнений находим коэффициенты регрессии
(параметры уравнения):
β = (xy)ср - yсрxср β = 40408
(х²)ср -(xср)²
α = yср - β*xср α =118751
Определение коэффициента корреляции.
С помощью коэффициента корреляции (ryx) производится оценка тесноты связи между у и х.
Коэффициент корреляции больше 0,7, то связь между х и у сильная. В нашем случае ryx = 0,869.
rxy = ((xy)ср -xср yср) / δx δy
δx = (xi -xср)² / (n-1); δx =2,449
δy = (yi - yср)² / (n -1); δy =99699
где n - число наблюдений в выборке, δx δy - среднее квадратическое отклонение.
Коэффициент Снедекера F.
Коэффициент Снедекера F оценивает существенность (значимость) построенной модели.
F фактич = rxy ² (n-2) / (1- rxy²)
F фактич = 7,233;. F теоритич = 5,52;
F фактич > F теоретич , то модель существенна.
Теоретические значения критерия Снедекера можно взять в таблице.
Таблица Фишера
-
M
F теоритич
5
6,61
6
5,99
7
5,52
8
5,32
9
5,12
10
4,96
m - число степеней свободы
m = n-1 (количество наблюдений в выборке минус число уравнений связи).
Коэффициент детерминации.
R² = ∑(y^ - yср)² / ∑(yi -yср)²
∑(y^ - yср)² - общая сумма квадратов отклонений;
∑ (yi -yср)² - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией (объясненная или факторная).
Коэффициент детерминации > 0,8, то модель описывает наиболее существенные стороны рассматриваемой модели или процесса. В нашем примере R2 = 0,986. Это значит, что 98 % результирующего признака определяется параметрами независимого аргумента.
Случайные ошибки и оценка значимости по t-критерию Стьюдента
Случайные ошибки:
mβ = ( ∑(yi - y^)² / ((n-2) ∑(x - xср)²))½ mβ = 1991
тα = ( ∑(yi - y^)² ∑x² / (n(n-2) ∑(x - xср)²))½ тα = 10054
mr = ((1- ryx²) / (n-2)) ½ mr = 0,202
Оценка значимости коэффициентов:
tβ = β / mβ
tα = α / тα
tr = r / mr
Полученные коэффициенты сравниваются с данными из таблицы Стьюдента:
Таблица Стьюдента.
-
m
t
5
2.57
6
2.45
7
2.36
8
2.31 /
9
2.26
10
2.23
В нашем примере tβ =20,295; tα =11,811; tr =4,296; tтабл = 2,31. значения этих коэффициентов больше табличного, то коэффициенты регрессии α, β, и коэффициент корреляции (ryx) существенны.
Доверительные интервалы для α, β
Сначала вычисляем предельные ошибки для α и β:
Δα = tтабл* mα Δα =23728 Δβ = tтабл* mβ Δβ =4698
Доверительный интервал для определенных параметров:
Lα min = α - Δα Lα min = 95023
Lα mах = α + Δα Lα mах = 142479
Lβ min = β - Δβ Lβ min = 35709
Lβ mах = β + Δβ Lβ mах = 45107
Целесообразно иметь доверительные интервалы не более 10% от абсолютных значений определяемых параметров. Полученные доверительные интервалы не удовлетворяют этому условию.
Доверительные интервалы прогноза.
Средняя стандартная ошибка прогноза:
my = δост (1+1/n +( x - xср)² / ∑(x - xср)²)½ myр = 18836
δост = (∑(yi - y^)² / (n-1)) ½ δост = 12903
yp = 563247
Доверительный интервал прогноза:
∆yp = tтабл myp ∆yp = 44453
Ly min = yp - ∆yp Ly min = 518794
Ly max = yp + ∆yp Ly max = 607700
Таблица 12
Линейная зависимость |
^y=^a+^bx |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
xi |
yi |
xiyi |
xi2 |
yi2 |
xi-xср |
yi-yср |
(xi-xср)2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
1 |
178256 |
178256 |
1 |
31775205101 |
-3,5 |
-122334 |
12,250 |
2 |
2 |
194367 |
388734 |
4 |
37778592498 |
-2,5 |
-106223 |
6,250 |
3 |
3 |
225769 |
677308 |
9 |
50971776822 |
-1,5 |
-74821 |
2,250 |
4 |
4 |
267925 |
1071702 |
16 |
71784058011 |
-0,5 |
-32665 |
0,250 |
5 |
5 |
331646 |
1658228 |
25 |
1,09989E+11 |
0,5 |
31055 |
0,250 |
6 |
6 |
353206 |
2119237 |
36 |
1,24755E+11 |
1,5 |
52616 |
2,250 |
7 |
7 |
403472 |
2824306 |
49 |
1,6279E+11 |
2,5 |
102882 |
6,250 |
8 |
8 |
450081 |
3600650 |
64 |
2,02573E+11 |
3,5 |
149491 |
12,250 |
Сумма |
36 |
2404723 |
12518421 |
204 |
7,92416E+11 |
0 |
0 |
42,000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xср= |
4,5 |
|
Коэффициенты регрессии |
|
|
x |
||
yср= |
300590 |
|
^a= |
118751 |
|
|
|
1 |
tтаб= |
2,36 |
|
^b= |
40409 |
|
|
|
2 |
(x*y)ср= |
1564803 |
|
Среднеквадратическое отклонение |
|
|
3 |
||
|
|
|
sx= |
2,449 |
sy= |
99699 |
|
4 |
|
|
|
Коэффициент корреляции |
|
|
5 |
||
|
|
|
rxy= |
0,869 |
|
|
|
6 |
|
|
|
Критерий Снедекера |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
Fф= |
18,453 |
Fт= |
5,52 |
|
8 |
|
|
|
Коэффициент детерминации |
|
|
36 |
||
|
|
|
R2= |
0,986 |
|
|
|
|
|
|
|
Случайные ошибки a, b, rxy |
|
|
|
||
|
|
|
ma= |
10054 |
mb= |
1991,028 |
mr= |
0,202 |
|
|
|
Оценка значимости коэффициентов a, b, rx по t-критерию Стьюдента |
|||||
|
|
|
ta= |
11,811 |
tb= |
20,295 |
tr= |
4,296 |
|
|
|
Предельные ошибки a, b |
|
|
|
||
|
|
|
Da= |
23728 |
Db= |
4699 |
∆rxy= |
0,477 |
|
|
|
Доверительные интрервалы для определенных параметров |
|
||||
|
|
|
Lamin= |
95023 |
Lamax= |
142479 |
Lbmin= |
35710 |
|
|
|
Прогноз |
|
|
|
|
|
|
|
|
xp= |
11 |
yp= |
563247 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средняя стандартная ошибка прогноза |
|
|
|
||
|
|
|
sост= |
12903 |
myp= |
18836 |
|
|
|
|
|
Доверительный интервал прогноза |
|
|
|
||
|
|
|
Dyp= |
44453 |
Lymin= |
518794 |
Lymax= |
607700 |
Продолжение таблицы 12
|
|
|
|
|
|
|
|
(yi-yср)2 |
(xi-xср)(yi-yср) |
^y |
yi-^y |
(yi-^y)2 |
(^y-yср)2 |
Lymin |
Lymax |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
14965704017 |
428170 |
159160 |
19096 |
364663394 |
20002602170 |
122915 |
195405 |
11283377831 |
265558 |
199569 |
-5201 |
27054765 |
10205409271 |
165200 |
233938 |
5598197641 |
112232 |
239977 |
-14208 |
201867515 |
3673947337 |
206918 |
273036 |
1066997864 |
16332 |
280386 |
-12461 |
155265758 |
408216371 |
248002 |
312770 |
964420897 |
15528 |
320795 |
10851 |
117739027 |
408216371 |
288410 |
353179 |
2768419437 |
78924 |
361203 |
-7997 |
63957186 |
3673947337 |
328144 |
394263 |
10584683239 |
257205 |
401612 |
1860 |
3459838 |
10205409271 |
367243 |
435981 |
22347525819 |
523218 |
442021 |
8060 |
64968964 |
20002602170 |
405776 |
478266 |
69579326745 |
1697167 |
2404723 |
0 |
998976447 |
68580350299 |
2132608 |
2676838 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xi-xi-1 |
ei |
ei-ei-1 |
(ei-ei-1)2 |
ei2 |
|
myi |
Dyi |
- |
19096 |
- |
- |
364663394 |
|
15358 |
36245 |
1 |
-5201 |
-24298 |
590372456 |
27054765 |
|
14563 |
34369 |
1 |
-14208 |
-9007 |
81118651 |
201867515 |
|
14008 |
33059 |
1 |
-12461 |
1747 |
3053549 |
155265758 |
|
13722 |
32384 |
1 |
10851 |
23311 |
543418093 |
117739027 |
|
13722 |
32384 |
1 |
-7997 |
-18848 |
355250319 |
63957186 |
|
14008 |
33059 |
1 |
1860 |
9857 |
97168093 |
3459838 |
|
14563 |
34369 |
1 |
8060 |
6200 |
38443332 |
64968964 |
|
15358 |
36245 |
7 |
0 |
-11036 |
1708824493 |
998976447 |
|
115303 |
272115 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
y^ |
Lymin |
Lymax |
|
|
|
1 |
178256 |
159160 |
122915 |
195405 |
|
|
|
2 |
194367 |
199569 |
165200 |
233938 |
|
tc= |
2,36 |
3 |
225769 |
239977 |
206918 |
273036 |
|
|
|
4 |
267925 |
280386 |
248002 |
312770 |
|
|
|
5 |
331646 |
320795 |
288410 |
353179 |
|
|
|
6 |
353206 |
361203 |
328144 |
394263 |
|
Lbmax= |
45108 |
7 |
403472 |
401612 |
367243 |
435981 |
|
|
|
8 |
450081 |
442021 |
405776 |
478266 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средняя ошибка аппроксимации |
|
|
|
|
||
|
А= |
124872056 |
|
|
|
|
|
|
Критерий автокорреляции остатков |
|
|
|
|
||
|
d= |
1,7106 |
|
|
|
|
|