Файл: лекция 02.doc

Сделать презентацию

Скачать файл (0,19Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.02.2025

Просмотров: 221

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Лекция 2.

Применение теории определителей к решению и исследованию систем линейных уравнений

Рассмотрим систему трех уравнений:

a₁₁ ^. x₁+a₁₂^.x₂+ a₁₃^.x₃=b₁
a₂₁^.x₁+a₂₂^.x₂+ a₂₃^.x₃=b₂	(1)
a₃₁ ^. x₁+a₃₂^. x₂+a₃₃ ^. x₃=b₃

Будем, как в первой лекции, обозначать символами А₁₁, А₁₂, … алгебраические дополнения элементов а₁₁, а₁₂, … определителя

	a₁₁	a₁₂	a₁₃
D =	a₂₁	a₂₂	a₂₃	(2)
	a₃₁	a₃₂	a₃₃

Умножим обе части первого уравнения системы (1) на А₁₁, второго - на А₂₁, третьего - на А₃₁ и затем почленно сложим эти уравнения:

(a₁₁ ^. A₁₁ + a₂₁ ^. A₂₁ + a₃₁ ^. A₃₁) ^. x₁ + (a₁₂ ^. A₁₁ + a₂₂ ^. A₂₁ + a₃₂ ^. A₃₁) ^. x₂ + (a₁₃ ^. A₁₁ + a₂₃ ^. A₂₁ + a₃₃ ^. A₃₁) ^. x₃ = b₁ ^. A₁₁ + b₂ ^. A₂₁ + b₃ ^. A₃₁

Отсюда и на основании свойств 9 и 10 определителя имеем:

D ^. x₁ = b₁ ^. A₁₁ + b₂ ^. A₂₁ + b₃ ^. A₃₁

(3)

Аналогично найдем:

D ^. x₂ = b₁ ^. A₁₂ + b₂ ^. A₂₂+ b₃ ^. A₃₂ (4)

D ^. x₃ = b₁^. A₁₃ + b₂ ^. A₂₃ + b₃ ^. A₃₃ (5)

Правые части уравнения (3), (4) и (5) обозначим соответственно символами D_x1, D_x2 и D_x3. Тогда эти уравнения примут вид:

D ^. x₁=D_x1 D ^. x₂=D_x2 D ^. x₃=D_x3 (6)

причем

	b₁	a₁₂	a₁₃
D_x1 =	b₂	a₂₂	a₂₃
	b₃	a₃₂	a₃₃

	a₁₁	b₁	a₁₃
D_x2 =	a₂₁	b₂	a₂₃
	a₃₁	b₃	a₃₃

	a₁₁	a₁₂	b₁
D_x3 =	a₂₁	a₂₂	b₂
	a₃₁	a₃₂	b₃

Определители D_x1, D_x2, D_x3 получаются из определителя D в ходе замены соответственно его первого, второго и третьего столбца столбцом свободных членов данной системы.

Предположим, что D неравно нулю. Из уравнения (6) находим:

(7)

Эти формулы называются формулами Крамера. Они определяют решение исходной системы (1). Для доказательства следует подставить в уравнения системы (1) вместо x₁, x₂, x₃ их выражения (7). Убедимся, что, например, первое из них обращается в тождество. Имеем:

a₁₁ ^. x₁+ a₁₂ ^. x₂+ a₁₃ ^. x₃= a₁₁ ^. + a₁₂ ^. + a₁₃ ^. =

= ^. [a₁₁ ^. (b₁ ^. A₁₁+ b₂ ^. A₂₁+ b₃ ^. A₃₁) + a₁₂ ^. (b₁ ^. A₁₂+ b₂ ^. A₂₂+ b₃ ^. A₃₂) + a₁₃ ^. (b₁ ^. A₁₃+ b₂ ^. A₂₃+ b₃ ^. A₃₃)] =

= ^. [b₁^. (a₁₁ ^. A₁₁+ a₁₂ ^. A₁₂+ a₁₃ ^. A₁₃) + b₂ ^. (a₁₁ ^. A₂₁+ a₁₂ ^. A₂₂+ a₁₃ ^. A₂₃) + b₃ ^. (a₁₁ ^. A₃₁+ a₁₂ ^. A₃₂+ a₁₃ ^. A₃₃)]

Но согласно свойству 9 определителей

a₁₁ ^. A₁₁ + a₁₂ ^. A₁₂ + a₁₃ ^. A₁₃ = D ,

а согласно свойству 10

а₁₁ ^. А₂₁ + а₁₂ ^. А₂₂ + а₁₃ ^. А₂₃ = 0

а₁₁ ^. А₃₁ + а₁₂ ^. А₃₂ + а₁₃ ^. А₃₃ = 0

Таким образом,

a₁₁ ^. + a₁₂ ^. + a₁₃ ^. = b₁

Аналогично можно показать, что в тождество обращаются второе и третье уравнения системы.

Приходим к выводу: если определитель D системы (1) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой системы. Оно выражается формулами Крамера (7).

Обобщим изложенное на случай системы n линейных уравнений с n неизвестными. Такая система, определитель которого отличен от нуля, всегда имеет единственное решение. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получится из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Здесь мне снова хочется сказать похвальное слово в адрес моих учениц(ков). В самостоятельную работу №1, которую я упомянул в первой лекции и на которую буду ссылаться в дальнейшем, включено задание на решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Давайте еще раз насладимся мастерством Лены Гладковой. Вот фрагмент ее решения. Она находит х₃ из системы уравнений (пример 1).