ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.02.2025
Просмотров: 462
Скачиваний: 2
|
= |
29 |
-56 |
27 |
|
17 |
-36 |
1 |
|
|
14 |
-25 |
11 |
9
Видим, что АВ ≠ ВА. Этот пример показывает, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.
Путём непосредственной проверки можно убедиться в справедливости следующих соотношений для матриц:
(А + В) . С = А . С + В . С (8)
С . (А + В) = С . А + С . В (9)
А . (В . С) = ( А . В) . С (10)
Завершая анализ операций над матрицами, рассмотрим пример вычисления матричного многочлена.
Пример 5. (Маша Куприянова, ТШ-061).
Найти значение матричного многочлена
3(А2 – в2) – 2ав
|
|
|
4 |
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
0 |
2 |
|
при |
А= |
3 |
-2 |
0 |
|
и |
|
В= |
5 |
-7 |
-2 |
|
|
|
0 |
-1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
0 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И
меем
|
|
4 |
2 |
1 |
4 |
2 |
1 |
|
22 |
3 |
6 |
|
А2= |
3 |
-2 |
0 |
3 |
-2 |
0 |
= |
6 |
10 |
3 |
|
|
0 |
-1 |
2 |
0 |
-1 |
2 |
|
-3 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
2 |
2 |
0 |
2 |
6 |
0 |
2 |
||
|
В2= |
5 |
-7 |
-2 |
5 |
-7 |
-2 |
= |
-27 |
49 |
26 |
|
|
1 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
-1 |
|
1 |
0 |
3 |
|
|
16 |
3 |
4 |
|
48 |
9 |
12 |
|
А2 – В2 = |
33 |
-39 |
-23 |
, 3( А2 – В2 ) = |
99 |
-117 |
-69 |
|
|
-4 |
0 |
1 |
|
-12 |
0 |
3 |
|
4 |
2 |
1 |
2 |
0 |
2 |
|
1 |
-14 |
3 |
|
|
|
АВ = |
3 |
-2 |
0 |
5 |
-7 |
-2 |
= |
-4 |
14 |
10 |
, |
|
|
0 |
-1 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
|
-3 |
7 |
0 |
|
9
|
|
3 |
-28 |
6 |
|
|
|
|
|
2АВ = |
-8 |
28 |
20 |
|
|
|
|
|
|
-6 |
14 |
0 |
|
|
|
|
8
|
10 |
37 |
6 |
|
|
|
|
|
|
3(A2 – B2) – 2AB = |
107 |
-145 |
-89 |
|
|
|
|
|
|
-6 |
-14 |
3 |
|
|
|
|
Умножение на единичную матрицу
На основании правила умножения матриц получаем:
|
АЕ = |
а11 |
а12 . |
1 |
0 |
= |
а11 |
а12 |
|
а21 |
а22 |
0 |
1 |
а21 |
а22 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EA= |
1 |
0 . |
а11 |
а12 |
= |
а11 |
а12 |
|
0 |
1 |
а21 |
а22 |
а21 |
а22 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. АЕ = ЕА = А (11)
Произведение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу равняется первоначальной матрице. Таким образом, при умножении матриц единичная матрица играет роль единицы, поэтому и называется единичной.
Понятие обратной матрицы
Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), даёт единичную матрицу. Обозначив обратную матрицу через А-1, запишем
А-1А = АА-1 = Е (12)
Если обратная матрица А-1 существует, то матрица А называется обратимой. Операция вычисления обратной матрицы называется обращением матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.