ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.03.2025
Просмотров: 169
Скачиваний: 1
u + ∆u = u − R0i∆x − L0 |
∂i |
∆x |
|||
∂t |
∂(u + ∆u) |
||||
(u + ∆u)∆x − C0 |
|||||
i + ∆i = i − G0 |
∆x |
||||
∂t |
|||||
Сгруппировав слагаемые, разделив на ∆x, устремив ∆x к нулю и переходя к изображениям (считая начальные условия нулевыми), получим:
dU ( p) |
= −Z0 |
( p)I ( p) |
|||
dx |
|||||
dI ( p) |
= −Y0 ( p)U ( p) |
||||
dx |
(p)= R0 |
||||
где Z0 |
+ pL0 – «продольное» операторное сопротивление; |
||||
Y0 (p)=G0 + pC0 – «поперечная» операторная проводимость. Продифференцировав эти выражения по x, получим дифференциальные
уравнения |
второго порядка (относительно x), где γ = γ( p) = Z0Y0 – |
||||||
коэффициент распространения: |
|||||||
d 2U ( p) |
− γ2U ( p) = 0 |
||||||
2 |
|||||||
dx |
|||||||
d 2 I ( p) |
− γ |
2 |
I ( p) = 0 |
||||
dx |
2 |
||||||
Эти уравнения называются телеграфными и имеют решение в виде наложения «волн» (прямых и отраженных) напряжения и тока:
U ( p, x) =U |
пр |
( p, x) +U |
отр |
( p, x) = A ( p)e−γx + A ( p)eγx |
|||||||||
1 |
2 |
||||||||||||
I ( p, x) = I |
пр |
( p, x) − I |
отр |
( p, x) = B ( p)e−γx − B |
2 |
( p)eγx |
|||||||
1 |
|||||||||||||
A1, A2, B1, B2 – коэффициенты прямых и отраженных волн напряжения и тока, |
|||||||||||||
соответственно. |
|||||||||||||
Величина Z |
в |
= |
Z0 = |
Z0 |
называется волновым сопротивлением. |
||||||||
γ |
Y |
||||||||||||
0 |
|||||||||||||
Параметры γ и Zв называют вторичными параметрами линии.
Для определения коэффициентов прямой и отраженной волн
необходимо воспользоваться граничными условиями: |
|||||||||||||
U (p,0)=U1 |
(p)= A1 + A2 |
||||||||||||
Zн |
(A e−γl − A eγl ) |
||||||||||||
U (p,l)=U |
2 |
(p)= A e−γl + A eγl = I (p,l)Z |
н |
= I |
2 |
(p)Z |
н |
= |
|||||
1 |
2 |
1 |
2 |
||||||||||
Zв |
|||||||||||||
Здесь x=0 – точка подключения генератора, x=l – противоположный конец линии, точка подключения нагрузки. Соответственно, U1, I1, U2, I2 – напряжения и токи в начале и в конце линии.
В установившемся режиме уравнения, описывающие процессы в линии упрощаются: переход к символическому методу позволяет избежать
14
непосредственного дифференцирования по времени. Полученные соотношения следует переписать при p = jω:
U&(x)=U&пр(x)+U&отр(x)= A1e−γx + A2eγx
I&(x)= I&пр(x)− I&отр(x)= |
A1 |
e−γx − |
A2 |
eγx |
|
Z в |
Z в |
||||
Вторичные параметры оказываются комплексными величинами:
γ =α + jβ = ( jωL0 + R0 )( jωC0 + G0 )
Z в = |
jωL0 + R0 |
||
jωC0 |
+G0 |
||
коэффициент α (действительная часть постоянной распространения) называют коэффициентом затухания; коэффициент β (мнимая часть постоянной распространения) называют коэффициентом фазы.
Если первичные параметры R0 = 0, G0 = 0 (или активными
составляющими по сравнению с реактивными можно пренебречь), то такую линию называют «линией без потерь»:
γ = jβ = jωL0 jωC0 = jω L0C0
ZВ = jωL0 = L0
jωC0 C0
Расчет режима длинной линии основан на учете граничных условий. Наиболее простой вид решение имеет, если переместить начало координат в точку подключения нагрузки и поменять направление оси на противоположное. С учетом этого уравнения длинной линии примут следующий вид:
U&(y)=U&пр(y)+U&отр(y)= B1eγy + B2e−γy
I&(y)= I&пр(y)− I&отр(y)= |
B1 |
eγy − |
B2 |
e−γy |
|
Z в |
Z в |
||||
Если нагрузкой является сопротивление Zн, то можно получить соотношение постоянных прямой и отраженной волн, которое называется коэффициентом
~ |
Z н − Z в |
U&обр(0) |
|||||
отражения: N |
= |
Z н + Z в |
= |
= n η. |
|||
U&пр(0) |
|||||||
Для линии без потерь уравнения длинной линии можно упростить:
U&(y)=U&2 cos(βy)+ jI&2 Zв sin(βy)
I&(y)= j U&2 sin(βy)+ I&2 cos(βy) Zв
Z вх (y)= Zв Z н + jZвtg((βy)) Zв + jZ нtg βy
15
Рассматривая линии передачи сигналов (или энергии) оказывается необходимым обеспечение согласованного режима работы источника (генератора), то есть к нему не должны возвращаться отраженные волны (коэффициент отражения равен нулю). Очевидно, для этого требуется равенство сопротивления нагрузки волновому сопротивлению линии. Мерой согласования в линии служит коэффициент стоячей волны, равный, по определению, отношению максимального значения действующего напряжения (тока) к минимальному:
Kc = |
Umax |
= |
B1 |
+ B2 |
= |
1 |
+ n . |
B1 |
− B2 |
1 |
|||||
Umin |
− n |
||||||
Для решения задач согласования применяются согласующие устройства. В основе простейших согласующих устройств два элемента: шлейф (короткозамкнутый или разомкнутый отрезок линии), включаемый либо в разрез одного из проводников линии (последовательное включение), либо параллельно участку линии с нагрузкой (параллельное включение); четвертьволновый трансформатор (отрезок линии со специально подобранным волновым сопротивлением длиной λ/4).
Принцип согласования четвертьволновым трансформатором основан на том, что входное сопротивление линии с волновым сопротивлением Zтр и
активной нагрузкой R оказывается равно: Zвх (λ4)= ZRтр2 .
Тогда для решения задачи согласования активной нагрузки необходимо взять четвертьволновый отрезок линии с сопротивлением Zтр = ZвR .
Скомпенсировать реактивную составляющую сопротивления нагрузки или входного сопротивления в некоторой точке можно, подобрав шлейф соответствующей длины, т.к. входное сопротивление х.х. шлейфа или к.з. шлейфа носит чисто реактивный характер.
16