ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.03.2025
Просмотров: 122
Скачиваний: 1
47. Перестановка (x1, x2, ..., xn) чисел {1, 2, ..., n} назы-
вается змеей (длины n), если x1 < x2 > x3 < x4...
П р и м е р. n =2, |
только 1 |
< 2, |
число =1, |
||||
n = |
3, |
2 |
< 3 > 1 , |
число =2, |
|||
1 |
< 3 |
> 2 |
3 |
||||
n = |
4, |
1 |
< 4 |
> 2 < |
|||
1 |
< 3 |
> 2 |
< |
4 |
число =5. |
||
2 |
< 3 |
> 1 |
< |
4 , |
|||
2 < 4 > 1 < 3
3 < 4 > 1 < 2
Найти число змей длины 10.
48. Обозначим через sn число змей длины n:
s1 =1, s2 =1, s3 =2, s4 =5, s5 =16, s6 =61.
Доказать, что ряд Тейлора тангенса есть
tg x =1 |
x1 |
+2 |
x3 |
+16 |
x5 |
+... = |
∞ |
Xk |
|||||||
1! |
3! |
5! |
|||||
=1 |
|||||||
x2k−1 s2k−1 (2k −1)! .
49. Вычислить сумму ряда |
||||||||||
1 +1 |
x2 |
+5 |
x4 |
+61 |
x6 |
+... = |
∞ |
s2k |
x2k |
. |
2! |
4! |
6! |
Xk |
(2k)! |
||||||
=0 |
||||||||||
50.Доказать при s > 1 тождество
∞∞
1 |
1 |
||||||
Yp |
= |
Xn |
|||||
− ps |
ns |
||||||
=2 |
1 |
1 |
=1 |
||||
(произведение по всем простым числам p, сумма по всем натуральным числам n).
51. Вычислить сумму ряда
∞ |
||||||
1 + |
1 |
+ |
1 |
+... = |
1 |
|
Xn |
||||||
4 |
9 |
|||||
n2 |
||||||
=1 |
||||||
(доказать, что она равна π2/6, т. е. примерно 3/2).
11
52. Найти вероятность несократимо-
сти дроби p/q (она |
определяется так: |
в круге p2 +q2 6R2 |
считается число N |
векторов с целыми p и q без общего делителя, большего 1, и затем вероятность несократимости – это предел отношения N (R)/M(R), где M(R) –число всех целых точек в круге (M πR2).
53. Для последовательности чисел Фибоначчи an задачи 43 найти предел отношения an+1/an при стремлении n к
M(5) =81, N (5) =44,
N/M =44/81
B P C
бесконечности: |
|||||||||||||||||||||||||
an+1 |
=2, |
3 |
, |
5 |
, |
8 |
, |
13 |
, |
34 |
. |
||||||||||||||
2 |
3 |
5 |
8 |
21 |
|||||||||||||||||||||
an |
√ |
||||||||||||||||||||||||
+1 |
|||||||||||||||||||||||||
5 |
|||||||||||||||||||||||||
A |
Q |
D |
|||||||||||||||||||||||
О т в е т: «золотое сечение», |
≈ |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||
≈ 1,618. [Это соотношение сторон открытки, остающейся себе подобной при отрезании квадрата, стороной которого является
меньшая сторона открытки BCAB = CDPC .] Как связаны с золотым
сечением правильный пятиугольник и пятиугольная звезда? 54. Вычислить бесконечную цепную дробь
1 + |
1 |
=a0 + |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
2 + |
a1 + |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
1 + |
a2 + |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
a3 |
+... |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||
1 + |
1 |
a2k =1 |
||||||||||||||||||||||||||
(найти предел дробей |
2 +... |
a2k+1 =2 |
||||||||||||||||||||||||||
a0 + |
1 |
при n → ∞). |
||||||||||||||||||||||||||
a1 |
+ |
1 |
||||||||||||||||||||||||||
a2 |
+ |
... |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
+ |
||||||||||||||||||||||||||||
an |
||||||||||||||||||||||||||||
55. Найти многочлены |
||||||||||||||||||||||||||||
y =cos 3(arccos x), |
y =cos 4(arccos x), |
y =cos n(arccos x), |
||||||||||||||||||||||||||
где |x| 61. |
||||||||||||||||||||||||||||
12
56.Вычислить сумму k-х степеней всех n корней степени n из 1 (комплексных).
57.Нарисовать на плоскости (x, y) кривые, заданные параметрически
{x =cos 2t, y =sin 3t}, |
{x =t3 − 3t, y =t4 − 2t2}. |
|
58. |
Вычислить (с ошибкой не больше 10% ответа) |
|
2]π sin100 x dx. |
||
0 |
||
59. |
Вычислить (с ошибкой не больше 10% ответа) |
|
10 |
||
] |
xx dx. |
|
1 |
||
60. Найти площадь треугольника с углами (α, β, γ) на сфере радиуса 1, стороны которого – окружности больших
кругов (сечения сферы плоскостями, прохо- |
|||
дящими через ее центр). |
α |
||
О т в е т: S =α +β +γ − π |
(например, |
β |
|
для треугольника с тремя прямыми углами |
γ |
||
S =π/2 –одна восьмая полной площади всей |
|||
сферы). |
|||
61. Окружность радиуса r катится внутри |
|||
круга по окружности радиуса 1 |
(без сколь- |
1 |
|
жения). Нарисовать всю траекторию одной из |
|||
точек катящейся окружности (эта траектория называется гипоциклоидой) при r =1/3, при
r =1/4, при r =1/n, при r =1/2.
62. В классе из n учеников оценить вероятность наличия двух учеников с одинаковыми днями рождения. Велика она или мала?
О т в е т: (очень) велика, если учеников (сильно) больше n0, (очень) мала, если (сильно) меньше n0, а вот чему равно это n0 (когда p ≈ 1/2) надо найти.
13
63. Закон Снелла (Снеллиуса) гово- |
y |
||
рит, что угол α луча света с нормалью |
α |
||
к слоям слоистой среды удовлетворяет |
|||
уравнению n(y) sin α =const, где n(y) – |
|||
«показатель преломления» слоя на высоте (величина n обрат- |
|||
на величине скорости света в среде, считая скорость в пустоте |
|||
за 1; в воде n =4/3). |
|||
Нарисовать ход лучей в среде «воздух над пустыней», где |
|||
показатель n(y) имеет максимум на некоторой высоте: |
|||
y |
|||
n(y) |
|||
(решение этой задачи объясняет явление миража в пустыне |
|||
тем, кто понимает, как ход лучей, идущих от предметов, связан |
|||
с изображениями). |
|||
64. Вписать в остроугольный тре- |
B |
||
угольник ABC треугольник KLM мини- |
|||
мального периметра (с вершинами K на |
K |
||
AB, L на BC, M на CA). |
|||
У к а з а н и е: Для неостроугольных |
|||
треугольников ответ получается непо- |
L |
||
хожий на красивый ответ для остро- |
|||
угольных. |
A |
M |
C |
65. Вычислить среднее значение функции |
1/r (где r2 = |
||
=x2 +y2 +z2, r – расстояние от начала координат) по сфере |
|||
радиуса R с центром в точке (X, Y , Z). |
|||
У к а з а н и е: Задача связана с законом всемирного тя- |
|||
готения Ньютона и с законом Кулона теории электричества. |
|||
В двумерном варианте задачи функцию нужно заменить на |
|||
ln r, а сферу – на окружность. |
|||
66. Из того, что 210 =1024 ≈ 103 следует, что log10 2 ≈ 0,3. |
|||
Оценить, насколько они отличаются, и вычислить log10 2 с |
|||
тремя десятичными знаками после запятой. |
|||
67. Найти с той же точностью |
log10 4, log10 8, log10 5, |
||
log10 50, log10 32, log10 128, log10 125, log10 64. |
|||
14 |
|||