ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.03.2025
Просмотров: 125
Скачиваний: 1
68.Зная, что 72 ≈ 50, найти приближенно log10 7.
69.Зная log10 64 и log10 7, найти log10 9, log10 3, log10 27, log10 6, log10 12.
70. Зная ln(1 +x) ≈ x (ln – это loge), найти log10 e и ln 10 из соотношения1
log10 a = lnln10a
и из ранее вычисленных log10 a (например, для a =128/125, 1024/1000 и т. п.).
[Решения задач 65–69 доставляют за полчаса вычисленную таблицу четырехзначных логарифмов любых чисел, используя произведение найденных уже чисел как опорные пункты и формулу
ln(1 +x) ≈ x − x2 + x3 − x4 +...
2 3 4
для поправок.] hНьютон составил так таблицу 40-значных логарифмов!i
71. Составим последовательность степеней двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, ... У первых двенадцати чисел десятичная запись начинается с 1 у четырех, а с 7 ни у одного.
Доказать, что в пределе n → ∞ первая цифра чисел 2m, 0 6m 6n, будет в среднем встречаться с определенной часто-
той: |
p1 |
≈ 30%, p2 ≈ 18%, ..., p9 |
≈ 4%. |
72. Проверить, как ведут себя первые цифры степеней тройки, 1, 3, 9, 2, 8, 2, 7, ... Доказать, что и здесь в пределе получаются определенные частоты, причем такие же, как для степеней двойки. Найти точную формулу для p1, ..., p9.
У к а з а н и е: Первая цифра числа x определяется дробной долей числа log10 x, поэтому нужно рассмотреть последовательность дробных долей чисел mα, где α =log10 2.
Доказать, что эти дробные доли распределены на отрезке от 0 до 1 равномерно: среди дробных долей чисел mα,
1Число Эйлера |
e =2,71828... определяется как |
предел |
последовательности |
||||||||||||||||
1 |
n |
→∞ |
1 |
1 |
1 |
||||||||||||||
n |
1! |
2! ln(1 +x) |
|||||||||||||||||
1 |
+ |
при n |
и равно также сумме ряда 1 + |
+ |
+ |
+ |
... Его можно |
||||||||||||
3! |
|||||||||||||||||||
также определить приведенной формулой для ln(1 +x): lim |
=1. |
||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||
x→0 |
|||||||||||||||||||
15
0 6m < n, в подинтервал A попадет из этих n дробных долей количество kn (A) такое, что при n → ∞, lim(kn (A)/n) = (длина подинтервала A).
73. Пусть g : M → M –гладкое отображение ограниченной области M на себя, которое взаимно однозначно и сохраняет площади (объемы в многомерном случае) областей.
Доказать, что в любой окрестности U любой точки из M и для любого N найдется точка x такая, что gT x тоже лежит в U при некотором целом T > N («теорема возвращения»).
74. Пусть |
M – поверхность тора (с координатами α |
||
(mod 2π), β |
(mod 2π), g (α, β) = (α +1, β +√ |
||
2) (mod 2π). |
|||
Доказать, что последовательность точек {gT (x)}, T =1, 2, ..., всюду плотно заполняет тор.
75. В обозначениях задачи 74 пусть
g (α, β) = (2α +β, α +β) (mod 2π).
Доказать, что имеется всюду плотное на торе подмножество периодических точек x (таких, что gT (x) x =x для некоторого целого T > 0).
76.В обозначениях задачи 74 доказать, что для почти всех точек x тора последовательность точек {gT (x)}, T =1, 2, ..., всюду плотно заполняет тор (точки x без этого свойства образуют множество меры нуль).
77.В задачах 74 и 76 доказать, что последовательность
{gT (x)}, T =1, 2, ..., распределяется на торе равномерно: если в область A из n точек с T =1, 2, ..., n попало kn (A), то
lim |
kn (A) |
= |
mes A |
n |
|||
n→∞ |
mes M |
||
(например, для измеримой по Жордану области A меры mes A).
П р и м е ч а н и е к з а д а ч е 13. Я пытался пояснить этой задачей разницу между подходами к делу математиков и физиков в заказанной мне журналом «Успехи физических наук» статье к 2000 юбилею Рождества. Мой успех оказался далеко превосходящим задуманный мною план: редакторы, в отличие от дошкольников, на опыте с которыми я основывал свои планы, решить задачу не смогли, поэтому изменили условие, чтобы подогнать его под указанный мной ответ 4 мм, так: вместо «от первой страницы первого тома до последней второго» набрали «от последней страницы первого тома до первой страницы второго».
Эта правдивая история настолько неправдоподобна, что я помещаю ее здесь: доказательством является опубликованный журналом редакторский вариант.
