8

Лекция 3

Дифференцируемость функции многих переменных.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Геометрические приложения частных производных.

Геометрический смысл первого дифференциала

П.1. Производные высших порядков.

Теорема о равенстве смешанных производных

Пусть дана дифференцируемая функция n переменных u(. Пусть также вычислена производная первого порядка по переменной . Эта функция тоже зависит от переменных .

Возьмем от производную по переменной :

=.

Функция называется частной производной второго порядка от функции u(по переменным

Таким же образом можно определить производные и третьего порядка .

Таким образом, справедлива рекуррентная формула

.

Производная называется смешанной, если среди переменных есть несовпадающие.

Пример. Рассмотрим функцию двух переменных . Производные , являются несмешанными производными, , - смешанными производными.

Теорема (о равенстве смешанных производных).

Пусть

1) функция определена в некоторой окрестности точки ;

---

2) существуют частные производные , , , в этой окрестности;

2) производные второго порядка , непрерывны в точке .

Тогда в точке .

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательное выражение:

.

Здесь h,k -достаточно малые чтобы оставаться в пределах окрестности из пунктов 1)-2).

Введем вспомогательную функцию

(*).

Очевидно,

Но непрерывна в точке .

Пусть . Тогда .

Рассмотрим выражение, аналогичное предложенному выше:

,

где

.

Аналогично получаем, что при выполнено .

Следовательно,

.

▲

Справедлива следующая общая теорема.

Теорема ( без доказательства).

Пусть функция определена в области . Пусть существуют и непрерывны все частные производные до k -го порядка включительно в области. Тогда смешанные производные до -го порядка не зависят от порядка дифференцирования.

---

Пример. Рассмотрим функцию двух переменных, у которой смешанные производные второго порядка существуют, но не равны в точке (0,0):

Имеем:

Видим, что

П.2. Дифференциалы высших порядков.

Неинвариантность дифференциалов порядка выше первого

Рассмотрим дифференцируемую функцию n переменных . Вычислим ее первый дифференциал:

В правой части этого равенства стоит функция от переменных , - некоторые фиксированные постоянные. Возьмем дифференциал от левой и правой частей:

Формально можно записать:

Аналогично,

Вообще, справедлива формула:

Рассмотрим функцию двух переменных . Запишем формулы первого, второго и третьего дифференциалов этой функции:

Исследуем, является ли дифференциал порядка выше первого инвариантной величиной. Пусть функция является сложной функцией переменных

x=x(u,v), y=y(u,v);

Справедлива формула второго дифференциала:

(*)

---

Докажем, что нельзя записать, как это мы делали для первого дифференциала, что то есть форма второго дифференциала зависит от того, являются ли используемые переменные зависимыми или нет.

Имеем:

{так как первый дифференциал инвариантен}=

Если бы были независимыми переменными, то была бы справедлива формула, аналогичная формуле (*). Но в нашем случае, когда являются в свою очередь некоторыми функциями, видим, что форма второго дифференциала меняется, появляются два новых слагаемых и . Видим, что форма второго дифференциала неинвариантна.

Однако, существует частный случай, когда можно говорить, что форма второго дифференциала инвариантна. Это случай линейной замены переменных:

Отсюда в случае линейной замены переменных действительно получаем

П.3. Геометрические приложения частных производных.

Касательный вектор к кривой. Нормаль к поверхности.

Касательная плоскость

1) Касательный вектор. Рассмотрим кривую L в пространстве, заданную параметрическими уравнениями:

Фиксируем некоторое значение , тем самым фиксируем некоторую точку M на кривой L : Придадим переменной t некоторое приращение , получим точку Рассмотрим вектор

---

Пусть . Тогда из рисунка мы видим, что вектор направлен по касательной к кривой , в пределе можно записать формулу

Вектор является касательным вектором к кривой L .

2) Касательная плоскость к поверхности .

Пусть задана поверхность

Пусть точка - произвольная точка на поверхности то есть ее координаты удовлетворяют уравнению поверхности .

Проведем через точку M кривую L, целиком лежащую на поверхности : .

Строим - касательный вектор к кривой L в точке M. Пусть кривая L имеет следующие параметрические уравнения:

Но Функция одной переменной t тождественно равна 0 на отрезке [a,b]

Здесь мы ввели вектор - градиент функции

Вектор перпендикулярен касательному вектору ко кривой L в точке M.

Соотношение ( верно для любой кривой L, проходящей через точку M целиком лежащей на поверхности . Таким образом, вектор направлен вдоль нормали к поверхности S в точке M.

---

Смотрите также файлы

• лекция7.pdf

• лекция6.pdf

• лекция5.pdf

• лекция4.pdf

• лекция3.pdf