Учитывая этот факт, получаем, что касательная плоскость к поверхности в точке имеет уравнение:

Рассмотрим L - нормаль к поверхности в точке . Вектор является направляющим вектором этой прямой, отсюда выписываем уравнение нормали к поверхности в точке :

- уравнение нормали к поверхности.

Замечания.

1) Пусть поверхность задана явно:

этом случае уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид:

Нормаль к поверхности имеет уравнение:

2) Если в точке выполнено или хотя бы одна из частных производных не существует в этой точке, то касательная плоскость в точке не существует.

Рассмотрим геометрический смысл первого дифференциала. Используем результаты, полученные выше.

Рассмотрим функцию двух переменны . Пусть точка принадлежит области определения функции z. Тогда точка лежит на поверхности Фиксируем приращения . Имеем:

---

_{точка N лежит на поверхности, точка M лежит на плоскости, касающейся поверхности в точке} :

Пусть P касательная плоскость к поверхности в точке

Пусть точка , где координата удовлетворяет уравнению плоскости P.

_Имеем:

Отсюда получаем геометрический смысл первого дифференциала:

первый дифференциал геометрически равен приращению аппликаты точки приращению аппликаты точки касательной плоскости, если переменным

приданы приращения

Если функция z дифференцируема в точке, то верно соотношение ( точки K и N имеют совпадающие проекции на плоскость OXY )

---

Смотрите также файлы

• лекция7.pdf

• лекция6.pdf

• лекция5.pdf

• лекция4.pdf

• лекция3.pdf