ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.04.2025
Просмотров: 14
Скачиваний: 0
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине " Линейная алгебра " для групп А - 5,13,14 - 13
-
) Понятие евклидова пространства. Неравенство Коши - Буняковского.
Неравенство треугольника.
-
) Понятие унитарного пространства. Неравенство Коши - Буняковского.
Неравенство треугольника.
-
) Существование в евклидовом и унитарном пространствах ортонорми-
рованных базисов. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
4) Свойства ортонормированных базисов.
-
) Определитель Г рама и его свойства : связь с линейной зависимостью
системы векторов.
-
) Определитель Г рама и его свойства : оценки для величины определителя
снизу и сверху.
-
) Понятие ортогонального дополнения к подпространству, его свойства.
-
Понятие линейного оператора. Примеры. Матрица оператора. Связь между координатами образа и прообраза.
-
Преобразование матрицы оператора при переходе к новым базисам.
-
Эквивалентные и подобные матрицы. Критерий эквивалентности
прямоугольных матриц.
-
Действия над линейными операторами : сложение, умножение на число, умножение операторов, возведение в целую положительную степень; соответствующие действия с их матрицами.
-
Ядро и образ оператора. Ранг и дефект линейного оператора.
Ранг матрицы оператора.
-
Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора.
14 ) Обратный оператор. Условия обратимости оператора. Матрица обратного оператора.
15) Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Линейная независимость системы собственных векторов.
-
Характеристический многочлен линейного оператора, его независимость от выбора базиса.
-
Матрица оператора в базисе из собственных векторов. Оператор простой структуры.
-
Инвариантные подпространства линейного оператора, индуцированный оператор. Теорема о характеристическом многочлене индуцированного оператора.
-
Операторный многочлен, его свойства. Существование у оператора инвариантного подпространства размерности (ш - 1).
-
Треугольная форма матрицы оператора. Подобие любой квадратной матрицы треугольной матрице.
21 ) Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств с помощью операторного многочлена.
22) Единственность разложения пространства в прямую сумму инвариантных подпространств.
23 ) Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств.
24) Теорема Кэли-Гамильтона.
-
) Построение базиса в одном корневом подпространстве.
-
) Циклические подпространства. Разложение корневого подпространства в
прямую сумму циклических подпространств. Матрица индуцированного оператора в циклическом подпространстве.
-
Корневой базис. Каноническая форма Жордана матрицы оператора.
-
Условие подобия квадратных матриц.
29 ) Понятие сопряженного оператора, его существование и единственность.
30) Связь сопряженного оператора с исходным оператором. Матрица сопряжённого оператора.
-
) Двойственный базис. Матрица сопряженного оператора в двойственном
базисе.
-
) Операторные уравнения. Теорема Фредгольма.
-
) Теорема Шура
-
) Нормальный оператор, его свойства.
-
) Унитарный оператор, его свойства.
-
) Эрмитов оператор, его свойства.
37) Арифметический корень степени m из неотрицательного эрмитова оператора : существование и единственность.
-
) Сингулярные базисы и сингулярные числа линейного оператора.
Матрица оператора в сингулярных базисах.
-
) Симметрический (самосопряжённый) оператор в евклидовом пространстве. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов.
40) Квадратичные формы. Преобразование матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных.
41 ) Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду.
42) Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных.
43 ) Закон инерции квадратичных форм.
44) Положительно определенные квадратичные формы.
45 ) Критерий положительной определённости квадратичной формы (критерий Сильвестра).
-
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
-
Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.
48 ) Неравенства Юнга, Гёльдера и Минковского.
49) Линейные нормированные пространства : норма, различные нормы в пространстве Rn.
50 ) Понятие об эквивалентности норм. Теорема об эквивалентности двух норм.
-
Линейные нормированные пространства : сходимость по норме и покоординатная сходимость.
-
Операторы в линейном нормированном пространстве : непрерывность и ограниченность линейного оператора.
-
) Норма линейного оператора . Подчинённая норма и её свойства.
-
) Спектральная норма оператора, её свойства.
55) Матричные нормы линейного оператора: ||А||1,||А||∞, ||А||2.
56 ) Множества с алгебраическими операциями. Бинарные операции, полугруппы и моноиды. Обратимые элементы. Примеры.
-
Группы, определение и примеры. Изоморфизм групп, его определение и свойства. Примеры.
-
Понятия кольца и поля. Примеры. Zm-кольцо классов вычетов по модулю ш, его основное свойство (без доказательства).